次数ごとに分裂する短完全列の三角形

命題 5.7（「三角圏とホモトピー圏の三角構造」§5）・ ✓公理まで証明済み

$0 \to X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \to 0$ を $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列とし、各 $n$ で $v^n s^n = 1$ となる射 $s^n\colon Z^n \to Y^n$ があるとする（ $s$ は鎖写像でなくてよい）。補題 3.2［鎖複体とホモトピー圏］の 2 の鎖写像 $\tau\colon Z \to X[1]$ （ $u \tau = d s - s d$ で定まる）をとると、 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{-\tau} X[1]$ は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の完全三角形である。
$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の任意の完全三角形は、1 の形の三角形と同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
- 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
- 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
写像柱による分解✓命題 5.6・鎖複体とホモトピー圏
- 写像錐の基本性質✓命題 5.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

次数ごとに分裂する短完全列の三角形

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）