写像柱による分解

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、$\alpha(x) = (x, 0, 0)$、$\beta(x, x', y) = f x + y$、$\gamma(y) = (0, 0, y)$ とおく。

1. $\alpha\colon X \to \operatorname{Cyl}(f)$、$\beta\colon \operatorname{Cyl}(f) \to Y$、$\gamma\colon Y \to \operatorname{Cyl}(f)$ は鎖写像で、$\beta \alpha = f$、$\beta \gamma = 1_Y$、$\gamma \beta \simeq 1$ である。とくに $\beta$ はホモトピー同値である。
2. $\varpi(x, x', y) = (x', y)$ は鎖写像 $\operatorname{Cyl}(f) \to \operatorname{Cone}(f)$ で、$0 \to X \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Cyl}(f) \xrightarrow{\varpi} \operatorname{Cone}(f) \to 0$ は各次数で分裂する短完全列である。