ホモトピー圏は加法圏

命題 4.4（「鎖複体とホモトピー圏」§4）・ ✓公理まで証明済み

零ホモトピックな鎖写像 $X \to Y$ の全体は $\operatorname{Hom}_{\mathrm{C}(\mathcal{A})}(X, Y)$ の部分群で、 $f$ が零ホモトピックなら、鎖写像 $g, k$ との合成 $g f$ 、 $f k$ も零ホモトピックである。したがって $\simeq$ は和と合成と両立する同値関係で、 $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は圏、商関手 $Q\colon \mathrm{C}(\mathcal{A}) \to \mathrm{K}(\mathcal{A})$ は Hom 群の準同型を誘導する。
$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は加法圏で、 $Q$ は双積を双積に送る。
$f \simeq g$ なら $f[1] \simeq g[1]$ である。よってシフトは $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の自己同型 $[1]$ を誘導する。
$H^n$ は $Q$ を経由し、加法関手 $H^n\colon \mathrm{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ を与える。
鎖写像 $f$ がホモトピー同値であることと、 $Q(f)$ が $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の同型であることは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。