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複体の圏

定義 2.1（「鎖複体とホモトピー圏」§2）

  1. A\mathcal{A} の複体 XX とは、対象の族 (Xn)n∈Z(X^n)_{n \in \mathbb{Z}} と射の族 dXn ⁣:Xn→Xn+1d_X^n\colon X^n \to X^{n+1}（微分）で、すべての nn で dXn+1dXn=0d_X^{n+1} d_X^n = 0 を満たすものをいう。
  2. 複体の射（鎖写像）f ⁣:X→Yf\colon X \to Y とは、射の族 fn ⁣:Xn→Ynf^n\colon X^n \to Y^n で dYnfn=fn+1dXnd_Y^n f^n = f^{n+1} d_X^n を満たすものをいう。合成は次数ごとの合成で定める。こうして得られる圏を C(A)\mathrm{C}(\mathcal{A}) と書く。
  3. n≪0n \ll 0 で Xn=0X^n = 0 となる複体を下に有界、n≫0n \gg 0 で Xn=0X^n = 0 となる複体を上に有界、両方を満たす複体を有界という。それぞれのなす充満部分圏を C+(A)\mathrm{C}^+(\mathcal{A})、C−(A)\mathrm{C}^-(\mathcal{A})、Cb(A)\mathrm{C}^b(\mathcal{A}) と書く。
  4. 添字を下に書いて Xn=X−nX_n = X^{-n}、dn=d−n ⁣:Xn→Xn−1d_n = d^{-n}\colon X_n \to X_{n-1} とした複体を鎖複体と呼ぶことがある。この章では主に上付きの添字（コチェインの流儀）を使う。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。