単体的対象・Moore 複体・正規化複体

定義 8.1（「鎖複体とホモトピー圏」§8）

$\Delta$ を、対象が $[n] = \{0, 1, \ldots, n\}$ （ $n \ge 0$ ）、射が広義単調増加な写像である圏とする。 $\delta^i\colon [n-1] \to [n]$ （ $0 \le i \le n$ ）を $i$ を飛ばす単射（ $x < i$ で $x$ 、 $x \ge i$ で $x + 1$ ）、 $\sigma^j\colon [n+1] \to [n]$ （ $0 \le j \le n$ ）を $j$ に 2 点を送る全射（ $x \le j$ で $x$ 、 $x > j$ で $x - 1$ ）とする。
圏 $\mathcal{C}$ の単体的対象とは関手 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ （定義 4.1［圏・関手・自然変換］、定義 3.5［圏・関手・自然変換］）のことで、 $X_n = X([n])$ 、 $d_i = X(\delta^i)\colon X_n \to X_{n-1}$ （面写像）、 $s_j = X(\sigma^j)\colon X_n \to X_{n+1}$ （退化写像）と書く。単体的対象の射は自然変換である。 $\mathcal{C}$ が集合の圏なら単体的集合（定義 7.1［特異ホモロジー］）、Abel 群の圏なら単体的 Abel 群である。
$\mathcal{A}$ をアーベル圏、 $X$ を $\mathcal{A}$ の単体的対象とする。Moore 複体 $C(X)$ を、 $n \ge 0$ で $C(X)_n = X_n$ 、 $n < 0$ で $0$ 、微分 $\partial_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i d_i\colon X_n \to X_{n-1}$ とする鎖複体と定める。正規化複体 $N(X)$ を、 $N(X)_0 = X_0$ 、 $n \ge 1$ で $N(X)_n$ を射 $(d_1, \ldots, d_n)\colon X_n \to X_{n-1}^{\oplus n}$ の核（ $d_1, \ldots, d_n$ の核の共通部分）とし、微分を $d_0$ の制限とする鎖複体と定める。

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閉包の状態

定義

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これを使っている定理

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