不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性

0. この記事の要点

量子力学では、状態の「長さ」の 2 乗は確率に対応するので、ふつう負にはなりません。ところが理論を計算できる形に整える途中で、長さの 2 乗が負になる状態を許さざるをえない場面が、ゲージ場の外にもいくつかあります。この記事では、くりこみ（Lee 模型）、発散をおさえる正則化、高階微分を含む振動子、非エルミートなハミルトニアンという 4 つの例を取り上げ、そのたびに「エネルギーの下限」と「確率としての解釈」のどちらが失われるかを調べます。読み終えると、各模型で何が犠牲になるかを表で比べられるようになります。

• 不定計量はゲージ場に固有の現象ではありません。くりこみ（Lee 模型）、正則化（Pauli–Villars）、高階微分（Pais–Uhlenbeck）、非エルミートなハミルトニアン（PT 対称性）のいずれからも、Krein 空間上の $J$ 自己共役作用素が自然に出てきます。
• Lee 模型の $V$–$N\theta$ セクターは Friedrichs 模型に帰着し、物理質量 $m$ と規格化（$Z$）でくりこむと、分散関数は $h(z)=(z-m)F(z)/Z$ と因数分解されます。$Z<0$（切断が大きいと必ず起こる）なら裸の結合定数の 2 乗が負になり、ハミルトニアンは $\kappa=1$ の Pontryagin 空間（負の方向が $\kappa$ 次元しかない Krein 空間）上の $J$ 自己共役作用素になって、$m$ より下に負ノルムの固有状態（ゴースト）がちょうど 1 つ現れます。切断を外した極限の伝播関数は負の留数の極をもち、どんな Hilbert 空間でも実現できません。
• Pauli–Villars 正則化の伝播関数 $\frac{i}{p^2-m^2}-\frac{i}{p^2-M^2}$ は、負計量で量子化した質量 $M$ の自由場を足した Krein–Fock 空間で厳密に実現されます。Källén–Lehmann 測度 $\delta_{m^2}-\delta_{M^2}$ が負の部分をもつので、正定値の空間では実現できません。
• Pais–Uhlenbeck 振動子 $H=H_1-H_2$ には 2 つの量子化があります。正定値の $L^2$ で量子化するとスペクトルが下に有界でなく（振動数比が無理数なら $\sigma(H)=\mathbb{R}$）、$J=1\otimes P$ の Krein 空間で量子化するとスペクトルは下に有界ですが、半数の固有状態が負ノルムになります。正のエネルギーと正のノルムの両方は得られません。
• PT 対称な $p^2+ix^3$ は $P$ 擬エルミート、すなわち $J=P$ の Krein 空間で自己共役です。有限次元では「実スペクトルかつ対角化可能」と「正定値な計量 $\eta$ の存在」は同値ですが、2 準位の例で示すとおり $J$ 自己共役性だけでは複素固有値も Jordan 細胞も排除できません。

この記事で使う事前知識

• Krein 空間: ベクトルの「長さの 2 乗」が負にもなりうる内積をもつ空間。→ Krein 空間
• $J$ 自己共役作用素: 不定内積に関して自己共役になる作用素（通常の自己共役作用素の拡張）。→ J 自己共役
• Fock 空間: 粒子の数が変わる系の状態を、0 粒子、1 粒子、2 粒子、… の空間の直和として並べたもの。→ ボソン Fock 空間
• 正準変換: 位置と運動量の基本的な括弧の関係（Poisson 括弧）を保つ変数変換。→ 正準変換
• BRST コホモロジー: ゲージ理論で、負ノルムの状態を取り除いて物理的状態を取り出す仕組み。→ BRST コホモロジー

1. 動機

前章までで見た Gupta–Bleuler 形式と BRST 形式では、負ノルムの状態は「ゲージ自由度」として最後に商空間で消えました。物理的部分空間が半正定値になるのは、負ノルムの状態がいつも零ノルムの状態と対になって現れ、物理的状態に入り込まないからです（Gupta–Bleuler 形式の数学的構造、BRST コホモロジーと物理的状態）。

しかし歴史的には、不定計量はゲージ場より広い文脈で登場しました。Dirac（1942）と Pauli（1943）は、紫外発散を抑えるために負ノルムの状態を導入することを考えました。Pauli と Villars（1949）は負の符号をもつ重い補助場で伝播関数を正則化し、Pais と Uhlenbeck（1950）は高階微分の作用が同じ効果をもつことを調べました。1954 年に T. D. Lee が導入した模型は「くりこみが厳密に実行できる場の理論」として期待されましたが、Källén と Pauli（1955）は、くりこんだ後の理論に負ノルムの状態が避けがたく現れることを示しました。1998 年以降は Bender らの PT 対称量子力学が、非エルミートなハミルトニアンの実スペクトルという別の入口から同じ構造に到達しています。

本章では 4 つの模型を、Krein 空間上の作用素の言葉で統一的に扱います。共通の問いは次の 2 つです。

1. 負ノルムの状態は、物理的に解釈できる部分空間から分離できるか（ゲージ理論ではできた）。
2. エネルギーの下限と計量の正定値性のどちらを犠牲にしているか。

答えは模型ごとに異なり、その違いがゲージ理論の不定計量がいかに「特別に良い」ものであるかを浮き彫りにします。

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