BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件

物理学不定計量とゲージ場の量子化第4章博士・研究有料「本」の章約 67 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1〜3 章の Krein 空間と Gupta-Bleuler 形式、および線形代数でのコホモロジー（核と像の商）の考え方を知っている人。BRST 対称性は仮定しません。

前提となる記事:Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理

0. この記事の要点

光の量子論では、計算を進めやすくするために、本物の光には対応しない「余分な状態」をいったん混ぜて扱うことがあります。余分な状態の中には、確率にあたる量が負になるものまで含まれます。この章は、余分な状態が互いに打ち消し合う組になっていれば、それらを除いた残りの部分では確率が負にならず、残りが本物の物理を表すことを、線形代数の言葉（核と像の商）で示します。読み終えると、「余分な状態をどう組にすればよいか」と「その組が残す部分は何か」を、式で説明できるようになります。

BRST 構造とは、Krein 空間の稠密な部分空間 $\mathcal D$ 上の作用素 $Q$ で、 $Q^2=0$ かつ J 対称なもののことです。 $\mathrm{Ran}\,Q$ は中立（中のどの 2 元の内積も 0）で $\mathrm{Ker}\,Q$ と J 直交し（内積が 0 になり）、 $\mathrm{Ker}\,Q=\mathcal D\cap(\mathrm{Ran}\,Q)^{[\perp]}$ （ $\mathrm{Ran}\,Q$ のすべての元と内積が 0 になる元の全体）が成り立つので、不定内積はコホモロジー $H(Q)=\mathrm{Ker}\,Q/\mathrm{Ran}\,Q$ の上に降ります。ゴースト数 $n$ と $m$ のコホモロジーは $n+m\ne0$ なら直交するので、 $H(Q)$ が正定値ならゴースト数 $0$ に集中します。
有限次元では $H(Q)$ の形式は非退化で、負の次元について $\kappa_-(\mathcal K)=\kappa_-(H(Q))+\mathrm{rank}\,Q$ が成り立ちます。したがって $H(Q)$ が正定値であることは「負の方向がすべて $Q$ で対にされている」ことと同値です。 $Q$ と対にならないゴーストがあると、ゴースト数 $0$ に限っても不定な状態が残ります。
ボソンとフェルミオンを合わせた超 Fock 空間（多粒子の状態を作る空間）の上では、1 粒子空間の写像 $q$ を微分として持ち上げた $D_q$ が作れ、 $[D_q,D_r\}=D_{[q,r\}}$ が成り立ちます。 $q$ がべき零で J 対称なら $Q=D_q$ は BRST 電荷です。
四重項機構（Kugo–Ojima）: 1 粒子空間が $\mathfrak p\,[\dotplus]\,\mathfrak w$ と分かれ、 $q$ が $\mathfrak p$ を消し、 $\mathfrak w$ の上で $qr+rq=1$ となる $r$ （縮約ホモトピー。 $q$ の働きを打ち消す向きの写像）があれば、 $\{Q,D_r\}$ は四重項粒子の数作用素 $N_{\mathfrak w}$ になり、 $\mathrm{Ker}\,Q=\mathcal D(\mathfrak p)\dotplus\mathrm{Ran}\,Q$ 、 $H(Q)\cong\mathcal D(\mathfrak p)$ （等長）が従います。 $\mathfrak p$ が正の Hilbert 空間なら、物理的状態空間は $\mathcal F_{\mathrm b}(\mathfrak p)$ です。
縦光子・スカラー光子に当たる 2 つの補助自由度とゴースト 1 対の模型では、各粒子数のコホモロジーを具体的に計算でき、 $0$ になります。自由電磁場では $\mathfrak p$ が横光子で、ゴーストを含まない状態に限ると $\mathrm{Ker}\,Q$ と $\mathrm{Ran}\,Q$ はそれぞれ Gupta–Bleuler の $\mathcal V_{\mathrm{phys}}$ と $\mathcal V_0$ に一致します。
相互作用する非可換ゲージ理論では、色の電荷が「表面積分 + BRST 完全な項」に書けることから、 $u^{ab}(0)=-\delta^{ab}$ と質量 0 のグルーオンがないことを条件に、物理的状態はすべて色について一重項になります（Kugo–Ojima の閉じ込め判定条件）。

Krein 空間: 内積の値が負にもなりうる空間で、基本対称 $J$ を使うと Hilbert 空間に結びつくもの。→ Krein 空間
J 対称: 作用素 $A$ について $[A\Psi,\Phi]=[\Psi,A\Phi]$ が成り立つ、という性質（Hilbert 空間の対称作用素にあたる）。→ J 対称
J 共役: Krein 空間の内積について、作用素の随伴にあたるもの。→ J 共役
Fock 空間: 粒子の数が決まらない状態をまとめて扱う空間。→ Fock 空間
フェルミオンの消滅作用素: フェルミオンの粒子を 1 つ減らす作用素。→ 消滅作用素
BRST 変換: ゲージ場とゴーストを混ぜる変換で、前の章でべき零性を示したもの。→ BRST 変換
Gupta–Bleuler 形式: 補助条件で物理的な状態を選ぶ、自由電磁場の量子化。→ 前章

1. 動機

前章では、自由電磁場の Gupta–Bleuler 形式を Krein–Fock 空間の定理として完結させました。鍵は、補助条件 $(\partial\cdot A)^{(+)}\Psi=0$ を課す作用素の族が中立な部分空間 $\mathfrak g$ をなすことでした。この方法は、補助条件を課す作用素が自由場であることに依存しています。非可換ゲージ理論では $\partial\cdot A$ は自由場ではなく、しかも Faddeev–Popov ゴーストという、スピンと統計の関係を破る（スカラーなのにフェルミ統計に従う）場が加わります。

非可換ゲージ理論の量子化では、この状況を BRST 電荷 $\hat Q_{\mathrm B}$ で処理しました。べき零性 $\hat Q_{\mathrm B}^2=0$ （定理 4.2［非可換ゲージ理論の量子化］）から $\mathrm{Im}\,\hat Q_{\mathrm B}\subset\mathrm{Ker}\,\hat Q_{\mathrm B}$ となり、物理的状態空間をコホモロジーとして定義しました（定義 4.4［非可換ゲージ理論の量子化］）。その正定値性は Kugo–Ojima の定理（定理 4.6［非可換ゲージ理論の量子化］）として、筋道だけを述べました。

本章では、この筋道を数学として詰めます。問題は 3 つあります。

べき零で J 対称な作用素のコホモロジーには、どんな内積の構造が自動的に備わり、何が備わらないか。
正定値性を保証する代数的な条件は何か。Kugo–Ojima の「四重項」を、縮約ホモトピーという線形代数の言葉で定式化し、Fock 空間の上で証明します。
前章の Gupta–Bleuler 形式は、BRST 形式の中でどう位置づけられるか。

最後に、相互作用がある場合の Kugo–Ojima の閉じ込め判定条件を、前章の Strocchi の定理と対比させて述べます。記法は前章に従い、Krein 消滅作用素 $a_J(v)$ とその J 共役 $a_J(v)^\dagger$ （定義 2.1［Gupta–Bleuler 形式の数学的構造］）を使います。