不定計量とゲージ場の量子化

物理学博士・研究無料 0 章有料 10 章

Krein 空間と J 自己共役作用素、Gupta–Bleuler 形式の数学、BRST コホモロジー、不定計量の模型、ゲージの同値性を、

想定読者: 研究者・博士課程以上（数理物理）

前提テーマ:関数解析と作用素論、フォック空間と第二量子化、場の量子論

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目次

1. 第 1 章Krein 空間と J 内積本不定内積空間と基本対称 J を定義し、Krein 空間の位相が基本分解によらないことを閉グラフ定理で示す。角作用素による最大非負部分空間の記述、Pontryagin 空間、正則部分空間の判定、商空間による正定値化を述べ、不定計量の Fock 空間に応用する。
2. 第 2 章Krein 空間上の作用素：J 自己共役性と definitizable 作用素本J 共役 A^[*]=JA*J と J 自己共役作用素を定義し、スペクトルが実軸に関して対称で実でない固有値が起こり得ることを示す。Pontryagin の不変部分空間定理、definitizable 作用素と Langer のスペクトル関数、J ユニタリ群と物理的部分空間上のユニタリ性を述べる。
3. 第 3 章Gupta–Bleuler 形式の数学的構造本ファインマンゲージの自由電磁場を不定計量の Fock 空間上に構成し、Gupta–Bleuler 条件の解が半正定値で、零ノルム部分空間による商が横光子の Fock 空間になることを証明する。ゲージ変換と物理量の扱い、Gauss 法則と局所性に関する Strocchi の定理を述べる。
4. 第 4 章BRST コホモロジーと物理的状態本Krein 空間上の J 対称でべき零な BRST 電荷とそのコホモロジーを定義し、四重項に縮約ホモトピーがあればコホモロジーが四重項を含まない部分の Fock 空間と等長同型になることを証明する。有限自由度の模型と自由電磁場で確かめ、Kugo–Ojima の閉じ込め判定条件を述べる。
5. 第 5 章不定計量の模型：Lee 模型・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck本Lee 模型でくりこみ定数 Z が負になると負ノルムの束縛状態（ゴースト）が現れることを証明し、Pauli–Villars の負計量の重い場、Pais–Uhlenbeck 振動子の 2 つの量子化、PT 対称な ix³ と擬エルミート性を Krein 空間の言葉で比較する。
6. 第 6 章ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージ本共変ゲージの Krein–Fock 空間で Gupta–Bleuler 条件を解き、物理的状態の商が Coulomb ゲージの Fock 空間とユニタリ同値であることを場と Poincaré 変換まで含めて証明する。保存外部電流の散乱演算子、切断つき QED の定式化と未解決点、ξ 族を扱う。
7. 第 7 章質量のあるベクトル場: Proca と Stueckelberg本質量 m のベクトル場を、3 偏極の Proca 場として正定値の Fock 空間上に構成し、4 成分のベクトル場と Stueckelberg スカラーからなる Krein–Fock 空間の Gupta–Bleuler 型の商が Proca の Fock 空間とユニタリ同値であることを証明する。m→0 の極限で縦偏極がスカラーに移ることを示す。
8. 第 8 章線形化重力の Krein 量子化本線形化重力の対称テンソル場を de Donder ゲージで固定し、符号数 (6,4) の DeWitt 計量をもつ Krein–Fock 空間上に構成する。de Donder 条件の正振動数部分で選んだ物理的状態の商が、2 偏極の重力子の Fock 空間と等長同型であることを Gupta–Bleuler 三つ組として証明する。
9. 第 9 章局所 definitizability と Krein 空間の摂動論本Pontryagin の不変部分空間定理を不動点定理で、J 非負作用素の Langer スペクトル関数を Hilbert 空間への引き戻しで証明する。正型スペクトル点だけからなるスペクトル集合が Hilbert 空間を張ることを Stone の公式で示し、コンパクト摂動、非有界な計量作用素、例外点の Puiseux 展開を扱う。
10. 第 10 章Coulomb ゲージのハミルトニアン形式本非可換ゲージ場の Coulomb ゲージで Gauss 法則を FP 作用素で解き、Christ–Lee 型のハミルトニアンを導く。Gribov 領域の凸性・有界性と軌道上の極小点の性質を証明し、格子上で木ゲージにより物理的状態空間と色電荷の超選択則を決め、Schwinger 模型の質量生成と Lowenstein–Swieca 解の Krein 構造を扱う。

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