ℤ[ω] の算術

命題 2.2（「リーマン予想 III」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{O}$ はノルムについて Euclid 整域である。すなわち $\alpha,\beta\in\mathcal{O}$ 、 $\beta\ne0$ に対して $\alpha=\kappa\beta+\rho$ 、 $N(\rho)\lt N(\beta)$ を満たす $\kappa,\rho\in\mathcal{O}$ が存在する。したがって $\mathcal{O}$ のイデアルはすべて単項で、 $\mathcal{O}$ は一意分解整域である。
$\mathcal{O}$ の単数は $\pm1,\pm\omega,\pm\omega^2$ の $6$ 個である。
$\alpha\in\mathcal{O}$ が $\lambda$ で割り切れないとき、 $u\alpha\equiv1\pmod{3\mathcal{O}}$ を満たす単数 $u$ がただ 1 つ存在する。したがって、 $3$ と互いに素な $0$ でないイデアルは、 $\equiv1\pmod3$ である生成元をただ 1 つもつ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。