Eisenstein 整数環の基本性質

補題 3.1（「フェルマーの最終定理 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\omega]$ 、 $\beta \ne 0$ に対し、 $\alpha = \kappa\beta + \rho$ 、 $N(\rho) < N(\beta)$ となる $\kappa, \rho \in \mathbb{Z}[\omega]$ がある。
$\mathbb{Z}[\omega]$ は単項イデアル整域であり、したがって一意分解整域である。
単数は $\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2$ の 6 個で、 $N(\alpha) = 1$ となる元と一致する。
$\lambda = 1 - \omega$ は素元で、 $N(\lambda) = 3$ 、 $3 = -\omega^2\lambda^2$ 。剰余環 $\mathbb{Z}[\omega]/(\lambda)$ は $0, 1, -1$ の類からなる 3 元体である。
単数 $u$ が $u \equiv \pm 1 \pmod{\lambda^2}$ を満たすなら $u = \pm 1$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ℤ[ω] の算術✓命題 2.2・リーマン予想 III
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環