数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

鍵方程式の互除法による解（Sugiyama の方法）

定理 6.6（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§6）・ ✓公理まで証明済み

6.2 節の設定で、 $1 \le w = \operatorname{wt}(e) \le t$ とする。このとき $S(x) \ne 0$ である。補題 6.5 の手順を $K = \mathbb{F}_{q^m}$ 、 $a = x^{2t}$ 、 $b = S(x)$ に対して行い、 $\deg r_i < t$ （または $r_i = 0$ ）となる最小の添字 $i$ を取る。すると $u_i(0) \ne 0$ で、

\sigma(x) = \frac{u_i(x)}{u_i(0)}, \qquad \omega(x) = \frac{r_i(x)}{u_i(0)}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

鍵方程式✓補題 6.4・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
- 除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

鍵方程式の互除法による解（Sugiyama の方法）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）