ベクトル束

$X$ をスキーム、$\mathcal{E}$ を階数 $n$ の局所自由層、$\{U_i\}$ を自明化被覆、$\psi_i\colon \mathcal{E}|_{U_i} \to \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n}$ を自明化とする。$U_i \cap U_j$ の上で $\psi_i \circ \psi_j^{-1}$ は可逆行列 $g_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j))$ で与えられ、$g_{ij}g_{jk} = g_{ik}$ を満たす。スキーム $U_i \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}}$ を、$(U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^n$ の上で座標の一次変換 $g_{ij}$ により貼り合わせて得られる $X$ 上のスキーム $\mathbb{V}(\mathcal{E}) \to X$ を、$\mathcal{E}$ に伴うベクトル束（全空間）という。