G 環・J-2 環・永田環・優秀環

$A$ を Noether 環とする。

1. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について、局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の形式ファイバー（定義 6.8［完備化と Artin–Rees の補題］）$\widehat{A_{\mathfrak{p}}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} \kappa(\mathfrak{q})$ が、$A_{\mathfrak{p}}$ のすべての素イデアル $\mathfrak{q}$ で $\kappa(\mathfrak{q})$ 上幾何的に正則であるとき、$A$ を G 環という。
2. すべての有限生成 $A$ 代数 $B$ について、正則な点の集合 $\operatorname{Reg}(B) = \{\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} B : B_{\mathfrak{q}} \text{ は正則}\}$ が $\operatorname{Spec} B$ の開集合であるとき、$A$ を J-2 環という。
3. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ と $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ のすべての有限次拡大体 $L$ について、$A/\mathfrak{p}$ の $L$ における整閉包が有限生成 $A/\mathfrak{p}$ 加群であるとき、$A$ を永田環（普遍的に日本的な環）という。
4. G 環かつ J-2 環であるとき準優秀環、さらに普遍鎖状（定義 4.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）であるとき優秀環という。