Spec の連結性と冪等元

命題 4.8（「局所化と素イデアルのスペクトル」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ とする。次は同値である。

$\operatorname{Spec} A$ は連結でない。
$A$ は $0, 1$ 以外の冪等元 $e$ （ $e^2 = e$ ）をもつ。
$0$ でない環 $A_1, A_2$ によって $A \cong A_1 \times A_2$ と書ける。

さらに (2) の $e$ について $A \cong A/(1 - e) \times A/(e)$ であり、 $V(e)$ と $V(1-e)$ が $\operatorname{Spec} A$ の分離を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
分離と連結性定義 2.1・連結性
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Spec の連結性と冪等元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）