逆系と逆極限・Mittag-Leffler 条件

$A$ 加群の列 $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と準同型 $\theta_n\colon M_{n+1} \to M_n$ の組を逆系という。$m \ge n$ について合成 $\theta_n \circ \cdots \circ \theta_{m-1}$ を $\theta_{n,m}\colon M_m \to M_n$ と書く（$\theta_{n,n} = \mathrm{id}$）。

1. 部分加群 $\varprojlim M_n = \{ (x_n) \in \prod_n M_n : \text{すべての } n \text{ で } \theta_n(x_{n+1}) = x_n \}$ を逆極限という。
2. 逆系の射 $(f_n)\colon (M_n) \to (N_n)$ とは、準同型 $f_n\colon M_n \to N_n$ の列で各 $n$ について $f_n \circ \theta_n = \theta'_n \circ f_{n+1}$ となるものをいう。$(x_n) \mapsto (f_n(x_n))$ により準同型 $\varprojlim M_n \to \varprojlim N_n$ が定まる。逆系の射の列 $0 \to (M'_n) \to (M_n) \to (M''_n) \to 0$ が完全であるとは、各 $n$ で $0 \to M'_n \to M_n \to M''_n \to 0$ が完全であることをいう。
3. 逆系 $(M_n)$ が Mittag-Leffler 条件を満たすとは、各 $n$ について、像の降鎖 $\theta_{n,m}(M_m)$（$m \ge n$）がある $m(n) \ge n$ 以降一定になることをいう。とくに $\theta_n$ がすべて全射なら Mittag-Leffler 条件を満たす。