# 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体
> Mittag-Leffler 条件で逆極限の完全性を示し、Artin–Rees の補題から Krull の交叉定理と完備化の完全性・平坦性・Noether 性を導く。Hensel の補題と、標数 0 の完備局所環の係数体の存在まで証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/commutative-algebra/completion-artin-rees
## 0. この記事の要点
整数の範囲では $x^2 = 2$ に解がありませんが、$7$ で割った余り、$49$ で割った余り、と精度を上げながら解を延ばしていくと、「$7$ 進整数」という広い数の世界の中に解が見つかります。この記事は、このように「各段階で矛盾しない余りの列」を一つの数とみなす操作（完備化）を調べます。読み終えると、完備化してももとの環の情報が失われない理由と、完備化した環でだけ使える根の持ち上げの方法がわかります。
- 加群の逆系 $(M_n)$ の[逆極限](/mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits#def-filtered)（両立する列を束ねたもの）は[左完全](/mathematics/category-homological-algebra/additive-abelian-categories#def-exact-functor)（完全列を左から保つ）な操作で、部分の逆系が **Mittag-Leffler 条件**（像の降鎖が止まる）を満たせば短完全列を短完全列に写します。$I$ 進完備化 $\widehat{M} = \varprojlim M/I^nM$ の性質はほぼすべてここから出ます。
- **Artin–Rees の補題**: Noether 環 $A$ 上の有限生成加群 $M$ とその部分加群 $N$ について、ある $c$ で $I^nM \cap N = I^{n-c}(I^cM \cap N)$（$n \ge c$）。証明は Rees 環 $\bigoplus_n I^n t^n$（$I^n$ を次数 $n$ の位置に並べた環。§4 の図）が Noether であることに尽きます。
- **Krull の交叉定理**: $\bigcap_n I^nM$ は「ある $a \in I$ で $(1-a)x = 0$」となる $x$ の全体です。局所環や整域では $\bigcap_n I^n = 0$ になります。Noether 性を外すと壊れます（滑らかな[関数の芽](/mathematics/manifolds/tangent-spaces#def-germ)）。
- Noether 環では、有限生成加群の上で完備化は完全で $\widehat{M} \cong \widehat{A} \otimes_A M$、$\widehat{A}$ は $A$ 上平坦（[局所環](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-local-ring)なら[忠実平坦](/mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#def-faithfully-flat)）で Noether、局所環の完備化は $\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ をもつ局所環です。
- **Hensel の補題**: 完備局所環上のモニック多項式は、剰余体上の互いに素な分解を持ち上げられます。とくに単根は持ち上がります（$\mathbb{Z}_7$ の中の $\sqrt{2}$）。
- 完備局所環が標数 $0$ の体を含めば**係数体**（剰余体と同型に写る部分体）をもち、$k[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環になります。一般の Cohen の構造定理（完備局所環の形を決める定理）は主張のみを述べ、理由を書きます。
## 1. 動機
$\mathbb{Z}$ で方程式 $x^2 = 2$ を解こうとすると解はありません。しかし $7$ を法とすると $3^2 \equiv 2$、$49$ を法とすると $10^2 \equiv 2$、$343$ を法とすると $108^2 \equiv 2$ と、法を $7^n$ に上げながら解を矛盾なく延ばしていけます。この「両立する解の列」を一つの数とみなしたものが $7$ 進整数で、$7$ 進整数の環 $\mathbb{Z}_7$ の中では $x^2 = 2$ が解をもちます。代数的に言えば、$\mathbb{Z}_7$ は剰余環 $\mathbb{Z}/7^n$ の逆極限です。
幾何学では、局所環 $A_\mathfrak{m}$ が代数多様体の点の「[Zariski 位相](/mathematics/algebraic-geometry-1/affine-varieties#def-affine-space)での近傍」を表すのに対し、完備化 $\widehat{A}$ は「形式的な近傍」、すなわち点のまわりの Taylor 展開の世界を表します。$k[x]_{(x)}$ の完備化は冪級数環 $k[[x]]$ です。Zariski 位相の開集合は大きすぎて、たとえば結節点 $y^2 = x^2(x+1)$ の原点のまわりで曲線が二本の枝に分かれる様子は局所環では見えませんが、標数が $2$ でない体上で完備化すると $y^2 - x^2(1+x) = (y - x\sqrt{1+x})(y + x\sqrt{1+x})$ と因数分解されて見えます（$\sqrt{1+x}$ は冪級数として存在します）。
完備化を使うには二つのことが要ります。一つは完備化してもとの情報が失われないこと（Krull の交叉定理による $A \hookrightarrow \widehat{A}$、平坦性）、もう一つは完備化した環でしかできない操作（Hensel の補題による根の持ち上げ、係数体）です。前者の要が Artin–Rees の補題、後者の要が逐次近似です。
この記事では §2 で逆極限、§3 で $I$ 進完備化、§4 で Artin–Rees の補題、§5 で Krull の交叉定理、§6 で Noether 環の完備化の性質、§7 で Hensel の補題、§8 で係数体と Cohen の構造定理を扱います。環はすべて単位元をもつ可換環で、$\mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$ とします。加群・完全列・中山の補題は [加群・完全列・中山の補題](/mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama)、テンソル積と平坦性は [テンソル積と平坦性](/mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective)、Noether 加群と冪級数環は [Noether 環と Artin 環](/mathematics/commutative-algebra/noetherian-and-artinian-rings) の章のものを使います。
## 2. 逆極限と Mittag-Leffler 条件
$A$ 加群の列 $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と準同型 $\theta_n\colon M_{n+1} \to M_n$ の組を**逆系**という。$m \ge n$ について合成 $\theta_n \circ \cdots \circ \theta_{m-1}$ を $\theta_{n,m}\colon M_m \to M_n$ と書く（$\theta_{n,n} = \mathrm{id}$）。
1. 部分加群 $\varprojlim M_n = \{ (x_n) \in \prod_n M_n : \text{すべての } n \text{ で } \theta_n(x_{n+1}) = x_n \}$ を**逆極限**という。
2. 逆系の**射** $(f_n)\colon (M_n) \to (N_n)$ とは、準同型 $f_n\colon M_n \to N_n$ の列で各 $n$ について $f_n \circ \theta_n = \theta'_n \circ f_{n+1}$ となるものをいう。$(x_n) \mapsto (f_n(x_n))$ により準同型 $\varprojlim M_n \to \varprojlim N_n$ が定まる。逆系の射の列 $0 \to (M'_n) \to (M_n) \to (M''_n) \to 0$ が**完全**であるとは、各 $n$ で $0 \to M'_n \to M_n \to M''_n \to 0$ が完全であることをいう。
3. 逆系 $(M_n)$ が **Mittag-Leffler 条件**を満たすとは、各 $n$ について、像の降鎖 $\theta_{n,m}(M_m)$（$m \ge n$）がある $m(n) \ge n$ 以降一定になることをいう。とくに $\theta_n$ がすべて全射なら Mittag-Leffler 条件を満たす。
$0 \to (A_n) \xrightarrow{(f_n)} (B_n) \xrightarrow{(g_n)} (C_n) \to 0$ を逆系の完全列とする。このとき
$$
0 \to \varprojlim A_n \to \varprojlim B_n \to \varprojlim C_n
$$
は完全である。さらに $(A_n)$ が Mittag-Leffler 条件を満たすなら、$\varprojlim B_n \to \varprojlim C_n$ は全射である。
証明の方針は次のとおりです。各 $n$ で「$c_n$ に写る $B_n$ の元」の集合を考え、それらを $n$ の小さい側から順に、両立するように選んでいきます。選んだ元が次の段でも延ばせるかが問題になりますが、Mittag-Leffler 条件により、十分先の段から落ちてくる像の集合が一定になるので、延ばせる候補が残ります。
三つの逆系の推移写像を $\alpha_n$、$\beta_n$、$\gamma_n$ と書きます。
**左完全性。** $f_n$ はすべて単射なので $\varprojlim A_n \to \varprojlim B_n$ も単射です。$(b_n) \in \varprojlim B_n$ が $C$ 側で $0$ に写るとすると、各 $n$ で $g_n(b_n) = 0$ なので $b_n = f_n(a_n)$ となる $a_n \in A_n$ がただ一つあります。$f_n(\alpha_n(a_{n+1})) = \beta_n(f_{n+1}(a_{n+1})) = \beta_n(b_{n+1}) = b_n = f_n(a_n)$ と $f_n$ の単射性から $\alpha_n(a_{n+1}) = a_n$ なので、$(a_n) \in \varprojlim A_n$ が $(b_n)$ に写ります。
**全射性。** $(c_n) \in \varprojlim C_n$ を取り、$E_m = g_m^{-1}(c_m) \subseteq B_m$ とおきます。$g_m$ は全射なので $E_m$ は空でなく、$e \in E_m$ を一つ取ると $E_m = e + f_m(A_m)$ です。$\gamma_m(c_{m+1}) = c_m$ なので $\beta_m(E_{m+1}) \subseteq E_m$ で、したがって $m \ge n$ について $D_{n,m} = \beta_{n,m}(E_m) \subseteq B_n$ は $m$ について減少します。$D_{n,m} = \beta_{n,m}(e) + f_n(\alpha_{n,m}(A_m))$ は部分加群 $f_n(\alpha_{n,m}(A_m))$ の剰余類（の代表元の集合）であり、Mittag-Leffler 条件から $m \ge m(n)$ ではこの部分加群は一定です。同じ部分加群の剰余類が包含関係にあれば一致するので、$m \ge m(n)$ で $D_{n,m}$ は一定です。これを $E^*_n$ とおくと、$E^*_n$ は空でありません。
$\beta_n(E^*_{n+1}) = E^*_n$ を示します。$m$ を十分大きく取れば $\beta_n(E^*_{n+1}) = \beta_n \beta_{n+1,m}(E_m) = \beta_{n,m}(E_m) = E^*_n$ です（$m \ge m(n), m(n+1)$ で両方の安定化が起きています）。
そこで $x_1 \in E^*_1$ を選び、$x_n \in E^*_n$ が選ばれたら $\beta_n(x_{n+1}) = x_n$ となる $x_{n+1} \in E^*_{n+1}$ を選びます（各段で一つを選ぶので選択公理を使います）。$(x_n) \in \varprojlim B_n$ で、$x_n \in E_n$ なので $g_n(x_n) = c_n$ です。
Mittag-Leffler 条件は外せません。$A_n = p^n\mathbb{Z}$（推移写像は包含）、$B_n = \mathbb{Z}$（恒等写像）、$C_n = \mathbb{Z}/p^n$ とすると、各段は完全ですが、$\varprojlim A_n = \bigcap_n p^n\mathbb{Z} = 0$、$\varprojlim B_n = \mathbb{Z}$ で、$\mathbb{Z} \to \varprojlim \mathbb{Z}/p^n$ は全射ではありません（§3 の