Cohen の構造定理

定理 8.4（「完備化と Artin–Rees の補題」§8）・ ※主張のみ

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備 Noether 局所環とする。

$A$ が体を含むなら、 $A$ は係数体 $K$ をもち、ある $r$ について $A$ は $K[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。
$A$ が体を含まないなら、 $k$ の標数は素数 $p$ であり、剰余体が $k$ で極大イデアルが $pV$ である完備離散付値環 $V$ （Cohen 環）と環準同型 $V \to A$ があって、ある $r$ について $A$ は $V[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は本文の注意にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。