コホモロジー的関手の長完全列

命題 4.2（「三角圏とホモトピー圏の三角構造」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{D}$ を三角圏、 $T = (X, Y, Z, u, v, w)$ を完全三角形とする。

$H\colon \mathcal{D} \to \mathcal{B}$ が（共変の）コホモロジー的関手なら、次の列は完全である。
$\cdots \to H(X[n]) \xrightarrow{H(u[n])} H(Y[n]) \xrightarrow{H(v[n])} H(Z[n]) \xrightarrow{H(w[n])} H(X[n+1]) \xrightarrow{H(u[n+1])} \cdots$
$H\colon \mathcal{D}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{B}$ がコホモロジー的関手なら、次の列は完全である。
$\cdots \to H(X[n+1]) \xrightarrow{H(w[n])} H(Z[n]) \xrightarrow{H(v[n])} H(Y[n]) \xrightarrow{H(u[n])} H(X[n]) \xrightarrow{H(w[n-1])} \cdots$

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
三角形のシフト✓系 3.9・三角圏とホモトピー圏の三角構造
- TR2 の後半は他の公理から従う✓補題 3.8・三角圏とホモトピー圏の三角構造
  - 錐の一意性✓系 3.5・三角圏とホモトピー圏の三角構造
    三角形の五項補題✓命題 3.4・三角圏とホモトピー圏の三角構造この先をたどる →