直和分解と射影の対応

定理 5.5（「双対空間と商空間」§5）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を有限次元ベクトル空間とする。

$P$ が射影ならば、 $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ であり、 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ （ $\boldsymbol{u}\in\operatorname{im}P$ 、 $\boldsymbol{w}\in\ker P$ ）に対し $P\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$ 。また $I-P$ も射影で、 $\operatorname{im}(I-P)=\ker P$ 、 $\ker(I-P)=\operatorname{im}P$ 。
逆に $V=U\oplus W$ ならば、 $P\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$ （ $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ ）で定まる $P$ は射影で、 $\operatorname{im}P=U$ 、 $\ker P=W$ である。
$V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ （各 $\boldsymbol{v}$ が $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_1+\cdots+\boldsymbol{u}_k$ 、 $\boldsymbol{u}_i\in U_i$ とただ一通りに書ける）であることは、射影 $P_1,\ldots,P_k$ で

P_iP_j=0\ (i\ne j),\qquad P_1+\cdots+P_k=I,\qquad\operatorname{im}P_i=U_i

を満たすものが存在することと同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。