位数公式

定理 5.6（「楕円曲線・モジュラー形式と現代数論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を整数、 $f \in M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ 、 $f \ne 0$ とする。 $\rho = e^{2\pi i/3}$ 、 $i = \sqrt{-1}$ とおき、点 $P \in \mathbb{H}$ における $f$ の零点の位数を $\mathrm{ord}_P(f)$ 、 $q$ 展開 $f = \sum_{n \ge n_0} a_n q^n$ （ $a_{n_0} \ne 0$ ）における $n_0$ を $\mathrm{ord}_\infty(f)$ と書く。このとき

\mathrm{ord}_\infty(f) + \frac{1}{2}\mathrm{ord}_i(f) + \frac{1}{3}\mathrm{ord}_\rho(f) + \sum_{P} \mathrm{ord}_P(f) = \frac{k}{12}

が成り立つ。ここで最後の和は基本領域の中の $i$ 、 $\rho$ と $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 同値でない点すべてを走る（有限和である）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 86 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

SL₂(ℤ) の基本領域✓補題 5.4・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- レベル 1 のモジュラー形式定義 5.1・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
レベル 1 のモジュラー形式定義 5.1・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
- コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
  - 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
- 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
    零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用（上で展開済み）
- 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
零点のまわりの小円弧✓補題 5.5・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式

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低い重さの空間✓系 5.8・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

位数公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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