レベル 1 のモジュラー形式

上半平面を $\mathbb{H} = \{\tau \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Im}\,\tau > 0\}$ とする。行列 $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$（すなわち $\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \mathbb{Z}$、$\alpha\delta - \beta\gamma = 1$）は

により $\mathbb{H}$ に作用する（$\mathrm{Im}(g\cdot\tau) = \mathrm{Im}(\tau)/|\gamma\tau+\delta|^2 > 0$ なので確かに $\mathbb{H}$ に写る）。整数 $k$ に対し、関数 $f : \mathbb{H} \to \mathbb{C}$ が重さ $k$ のモジュラー形式であるとは、次の三条件を満たすことをいう。

1. $f$ は $\mathbb{H}$ 上正則である。
2. 任意の $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対し $$f\!\left(\frac{\alpha\tau+\beta}{\gamma\tau+\delta}\right) = (\gamma\tau + \delta)^k f(\tau).$$
3. $f$ は無限遠（尖点）で正則である。すなわち条件 2 で $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を取ると $f(\tau + 1) = f(\tau)$ が従うので $q = e^{2\pi i \tau}$ のべき級数に展開できるが、その展開が $f(\tau) = \sum_{n \ge 0} a_n q^n$ と負べきを含まない形になる。

重さ $k$ のモジュラー形式全体を $M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ と書く。さらに $a_0 = 0$ のとき $f$ を尖点形式といい、その全体を $S_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ と書く。