低い重さの空間

系 5.8（「楕円曲線・モジュラー形式と現代数論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を整数とする。

$k$ が奇数、または $k < 0$ 、または $k = 2$ ならば $M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 0$ 。
$M_0(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = \mathbb{C}$ （定数関数のみ）。
$k < 12$ ならば $S_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 0$ 。したがって偶数 $k$ が $4 \le k \le 10$ を満たすとき $\dim M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 1$ で、 $E_k$ が基底である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 106 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

位数公式✓定理 5.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- SL₂(ℤ) の基本領域✓補題 5.4・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
  - レベル 1 のモジュラー形式定義 5.1・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- レベル 1 のモジュラー形式定義 5.1・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
  - コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
- 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
- 偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
  - 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用（上で展開済み）
  - 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
- 対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
- 零点のまわりの小円弧✓補題 5.5・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
アイゼンシュタイン級数は重さ k のモジュラー形式✓命題 5.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
- リーマンの除去可能特異点定理✓定理 3.3・留数定理と定積分への応用

これを使っている定理証明で参照している 2 件

S₂(Γ₀(2)) = 0✓定理 7.1・フェルマーの最終定理 I
$S_2(\Gamma_0(2)) = 0$ ✓補題 10.8・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

低い重さの空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件