Koksma–Hlawka の不等式

定理 4.4（「準 Monte Carlo 法」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $[0,1]^d$ を含む開集合の上で $C^d$ 級の実数値関数、 $P = \{x_1, \ldots, x_N\} \subset [0,1)^d$ とする。このとき

\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n) - \int_{[0,1]^d}f(x)\,dx = \sum_{\emptyset\ne u\subseteq\{1,\ldots,d\}}(-1)^{|u|}\int_{[0,1]^u}\delta_P(t_u, 1)\,\partial_uf(t_u, 1)\,dt_u

（Hlawka–Zaremba の恒等式）が成り立ち、したがって

\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n) - \int_{[0,1]^d}f(x)\,dx\Bigr| \le V_{\mathrm{HK}}(f)\,D_N^*(P).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

頂点 (1, …, 1) を基点とする展開✓補題 4.3・準 Monte Carlo 法
- Koksma の不等式（C¹ 級の場合）✓定理 4.1・準 Monte Carlo 法
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分
    微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Hardy–Krause の意味の変動（滑らかな関数の場合）定義 4.2・準 Monte Carlo 法

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Koksma–Hlawka の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）