無作為な平行移動による推定量は不偏

命題 7.2（「準 Monte Carlo 法」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f : [0,1)^d \to \mathbb{R}$ を可積分な関数とし、 $I = \int_{[0,1)^d}f$ とする。

各 $x \in [0,1)^d$ について $\{x + U\}$ は $[0,1)^d$ 上の一様分布に従う。したがって $\mathbb{E}[Q_U(f)] = I$ 。
$f$ が 2 乗可積分とする。独立な平行移動 $U_1, \ldots, U_M$ （ $M \ge 2$ ）について、 $\bar Q = M^{-1}\sum_kQ_{U_k}(f)$ は $\mathbb{E}[\bar Q] = I$ 、 $\mathrm{Var}(\bar Q) = \mathrm{Var}(Q_U(f))/M$ を満たし、標本分散 $s^2 = (M-1)^{-1}\sum_k(Q_{U_k}(f) - \bar Q)^2$ について $\mathbb{E}[s^2/M] = \mathrm{Var}(\bar Q)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
- 大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理
  - 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
  - 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
  - レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理この先をたどる →
  - 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
- 収束概念の含意✓定理 3.6・大数の法則と中心極限定理
  - 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理この先をたどる →
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
- 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理

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ANOVA 分解の直交性と、無作為化した準 Monte Carlo 法の誤差✓命題 7.4・準 Monte Carlo 法

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