情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

積型求積則の誤差

定理 3.1（「Monte Carlo 積分と分散低減」§3） ・ ✓公理まで証明済み

r≥1r \ge 1、n≥1n \ge 1 とする。[0,1][0,1] 上の求積則 QnQ_n が、重み wj≥0w_j \ge 0、∑jwj=1\sum_jw_j = 1 をもち、ある定数 KK について、すべての g∈Cr[0,1]g \in C^r[0,1] で

∣∫01g(x) dx−Qng∣≤K n−rmax⁡[0,1]∣g(r)∣\Bigl|\int_0^1 g(x)\,dx - Q_ng\Bigr| \le K\,n^{-r}\max_{[0,1]}|g^{(r)}|

を満たすとする。

  1. f:[0,1]d→Rf : [0,1]^d \to \mathbb{R} が連続で、各 kk について ∂rf/∂xkr\partial^rf/\partial x_k^r が存在して連続ならば ∣∫[0,1]df(x) dx−Qn⊗df∣≤K n−r∑k=1dmax⁡[0,1]d∣∂rf∂xkr∣.\Bigl|\int_{[0,1]^d} f(x)\,dx - Q_n^{\otimes d}f\Bigr| \le K\,n^{-r}\sum_{k=1}^d\max_{[0,1]^d}\Bigl|\frac{\partial^rf}{\partial x_k^r}\Bigr|.
  2. 複合台形則（nn 個の小区間、r=2r = 2、K=112K = \frac1{12}）と複合 Simpson 則（nn は偶数、r=4r = 4、K=1180K = \frac1{180}）はこの仮定を満たし、評価回数 N=(n+1)dN = (n+1)^d について誤差は 2rKN−r/d∑kmax⁡∣∂krf∣2^rK N^{-r/d}\sum_k\max|\partial_k^rf| 以下である。
  3. 複合台形則の積型則を f(x)=x12f(x) = x_1^2 に使ったときの誤差は、ちょうど 16n2\frac{1}{6n^2} で、16N−2/d\frac16N^{-2/d} より大きい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。