Laplace 変換の演算則

命題 7.2（「線形微分方程式系」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f,g$ を指数位数 $\omega$ の区分的連続関数、 $\operatorname{Re}s>\omega$ とする。

（線形性） $\mathcal{L}(\alpha f+\beta g)=\alpha\mathcal{L}f+\beta\mathcal{L}g$ 。
（微分） $f$ が連続で区分的に $C^1$ 、 $f'$ が指数位数 $\omega$ なら $\mathcal{L}[f'](s)=sF(s)-f(0)$ 。 $f$ が $C^1$ 級で $f'$ が連続かつ区分的 $C^1$ 、 $f''$ が指数位数 $\omega$ なら $\mathcal{L}[f''](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ 。
（積分） $\mathcal{L}\bigl[\int_0^tf\bigr](s)=F(s)/s$ 。
（第 1 推移） $a\in\mathbb{C}$ について $\mathcal{L}[e^{at}f](s)=F(s-a)$ （ $\operatorname{Re}s>\omega+\operatorname{Re}a$ ）。
（第 2 推移） $a\ge0$ とし、 $f_a(t)=f(t-a)$ （ $t\ge a$ ）、 $f_a(t)=0$ （ $0\le t<a$ ）とすると $\mathcal{L}f_a(s)=e^{-as}F(s)$ 。
（畳み込み） $(f*g)(t)=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\,d\tau$ について $\mathcal{L}(f*g)=\mathcal{L}f\cdot\mathcal{L}g$ 。
$k\ge0$ について $\mathcal{L}\bigl[\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}\bigr](s)=\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}$ （ $\operatorname{Re}s>\operatorname{Re}\lambda$ ）。
（一意性） $\mathcal{L}f=\mathcal{L}g$ （ $\operatorname{Re}s>\omega$ ）ならば、 $f$ と $g$ はともに連続な点で $f=g$ である。とくに $f,g$ がともに連続なら恒等的に $f=g$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ベクトル値 Laplace 変換✓定理 7.1・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
- Laplace 変換の正則性✓命題 2.1・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Laplace 変換の一意性✓定理 2.2・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
  - Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Laplace 変換法（線形常微分方程式系）✓定理 7.3・線形微分方程式系
逆 Laplace 変換の積分公式（Bromwich）✓定理 7.6・線形微分方程式系
有理関数の逆 Laplace 変換と留数✓系 7.7・線形微分方程式系

Laplace 変換の演算則

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件