結合定数の次元と、摂動論で見えないスケール Λ

命題 6.1（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ I」§6）・ ✓公理まで証明済み

（次元勘定） $d$ 次元の Yang–Mills 作用を $S_g$ と書き、 $A^\lambda_\mu(x)=\lambda A_\mu(\lambda x)$ とすると $S_g(A^\lambda)=S_{g'}(A)$ 、 $g'^2=g^2\lambda^{d-4}$ 。すなわち、長さを $\ell$ 倍に見直す（ $\lambda=1/\ell$ ）と結合定数は $g^2\ell^{4-d}$ になり、 $g^2$ は質量の次元 $4-d$ をもつ。無次元の有効結合 $g^2\ell^{4-d}$ は、 $d\lt4$ では短距離 $\ell\to0$ で $0$ に近づき、 $d=4$ では $\ell$ によらない。
（1 ループの走る結合） $b_0\gt0$ とし、 $g(\mu)\gt0$ が $\mu\dfrac{dg}{d\mu}=-b_0g^3$ を満たすとする。このとき $\frac{1}{g(\mu)^2}=\frac{1}{g(\mu_0)^2}+2b_0\log\frac{\mu}{\mu_0},\qquad\Lambda:=\mu\,\exp\Bigl(-\frac{1}{2b_0\,g(\mu)^2}\Bigr)$ で、 $\Lambda$ は $\mu$ によらない。 $g(\mu)^2=\dfrac{1}{2b_0\log(\mu/\Lambda)}$ （ $\mu\gt\Lambda$ ）である。
（摂動展開は $0$ ） $c\gt0$ とし、 $\phi(x)=e^{-c/x}$ （ $x\gt0$ ）とする。任意の整数 $n\ge0$ について $\lim_{x\downarrow0}\phi(x)/x^n=0$ 。したがって、 $\phi(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j+o(x^n)$ （ $x\downarrow0$ ）を満たす係数はすべての $n$ で $a_0=\dots=a_n=0$ に限る。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。