丸い球面の Ricci flow

命題 3.6（「ポアンカレ予想 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge2$ とする。半径 $r_0$ の丸い球面 $S^n(r_0)$ の計量 $g_0$ から出発する Ricci flow の解として、半径 $r(t)$ の丸い球面の計量

g(t)=\frac{r(t)^2}{r_0^2}\,g_0,\qquad r(t)^2=r_0^2-2(n-1)t\qquad\Bigl(0\le t\lt T=\frac{r_0^2}{2(n-1)}\Bigr)

が取れる。 $t\uparrow T$ で直径は $0$ に、曲率 $R=n(n-1)/r(t)^2$ は無限大に発散する。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

丸い球面の曲率✓補題 3.4・ポアンカレ予想 I
- 部分多様体の Levi-Civita 接続✓命題 5.4・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
Einstein 計量と S² × ℝ の流れ✓命題 3.5・ポアンカレ予想 I
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 丸い球面の曲率✓補題 3.4・ポアンカレ予想 I（上で展開済み）

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。