数学 › 数値解析の基礎 › 非線形方程式の反復解法

Kantorovich 型の存在と一意性（簡易 Newton 法）

定理 7.4（「非線形方程式の反復解法」§7） ・ ✓公理まで証明済み

U⊂RnU \subset \mathbb{R}^n を開集合、F:U→RnF : U \to \mathbb{R}^n を全微分可能、x0∈Ux_0 \in U で J0=J(x0)J_0 = J(x_0) は正則とする。正の数 β,η,γ,R\beta, \eta, \gamma, R が

∥J0−1∥≤β,∥J0−1F(x0)∥≤η,∥J(x)−J0∥≤γ∥x−x0∥(x∈Bˉ(x0,R))\|J_0^{-1}\| \le \beta, \qquad \|J_0^{-1}F(x_0)\| \le \eta, \qquad \|J(x) - J_0\| \le \gamma\|x - x_0\| \quad (x \in \bar B(x_0, R))

と Bˉ(x0,R)⊂U\bar B(x_0, R) \subset U を満たすとし、L=βγL = \beta\gamma、h=Lηh = L\eta とおく。h<1/2h \lt 1/2 かつ

t−=1−1−2hL≤Rt_- = \frac{1 - \sqrt{1 - 2h}}{L} \le R

ならば次が成り立つ。

  1. FF は Bˉ(x0,t−)\bar B(x_0, t_-) に零点 x∗x^* をもち、Bˉ(x0,t−)\bar B(x_0, t_-) の中の零点はそれだけである。
  2. 簡易 Newton 法 xk+1=xk−J0−1F(xk)x_{k+1} = x_k - J_0^{-1}F(x_k) の列は Bˉ(x0,t−)\bar B(x_0, t_-) にとどまって x∗x^* に収束し、q=Lt−=1−1−2h<1q = L t_- = 1 - \sqrt{1 - 2h} \lt 1 について ∥xk−x∗∥≤qkη/(1−q)\|x_k - x^*\| \le q^k\eta/(1 - q) である。
  3. FF は開球 B(x0,min⁡(R,1/L))B(x_0, \min(R, 1/L)) の中に x∗x^* 以外の零点をもたない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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