平均値不等式（ベクトル値）

$\boldsymbol f:U\to\mathbb{R}^m$ とし、$\boldsymbol a,\boldsymbol b\in U$ を結ぶ線分 $L=\{\boldsymbol a+t(\boldsymbol b-\boldsymbol a):0\le t\le1\}$ が $U$ に含まれ、$\boldsymbol f$ が $L$ の各点で全微分可能であるとします。このとき、ある $\theta\in(0,1)$ が存在して

が成り立ちます。とくに、凸な開集合 $U$ 上で $\boldsymbol f$ が全微分可能で、すべての点で $\|J_{\boldsymbol f}\|\le M$ ならば、$\|\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f(\boldsymbol y)\|\le M\|\boldsymbol x-\boldsymbol y\|$（$\boldsymbol x,\boldsymbol y\in U$）です。