前進誤差と後退誤差の関係

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$f:U\to\mathbb{R}^m$、$\boldsymbol{x}\in U$, $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$, $f(\boldsymbol{x})\ne\boldsymbol{0}$ とし、$\hat{\boldsymbol{y}}=f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})$（$\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x}\in U$）とする。

1. （1 次の評価） $f$ が $\boldsymbol{x}$ で全微分可能なら $$\frac{\|\hat{\boldsymbol{y}}-f(\boldsymbol{x})\|}{\|f(\boldsymbol{x})\|}\le\kappa(\boldsymbol{x})\frac{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}+R(\Delta\boldsymbol{x}),\qquad\lim_{\Delta\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{0}}\frac{R(\Delta\boldsymbol{x})}{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}=0$$ を満たす $R\ge0$（$\boldsymbol{x}$ と $f$ だけで決まり、$\Delta\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ で定義される）がある。これを $o(\|\Delta\boldsymbol{x}\|)$ の項と呼ぶ。
2. （非漸近の評価） 線分 $L=\{\boldsymbol{x}+t\Delta\boldsymbol{x}:0\le t\le1\}$ が $U$ に含まれ、$f$ が $L$ の各点で全微分可能なら $$\frac{\|\hat{\boldsymbol{y}}-f(\boldsymbol{x})\|}{\|f(\boldsymbol{x})\|}\le\left(\sup_{\boldsymbol{z}\in L}\frac{\|J_f(\boldsymbol{z})\|\,\|\boldsymbol{x}\|}{\|f(\boldsymbol{x})\|}\right)\frac{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}.$$
3. （成分ごと） $m=1$ で、2 と同じ仮定のもとで $$\frac{|\hat y-f(\boldsymbol{x})|}{|f(\boldsymbol{x})|}\le\left(\sup_{\boldsymbol{z}\in L}\frac{1}{|f(\boldsymbol{x})|}\sum_{i=1}^n|x_i|\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{z})\right|\right)\eta_{\boldsymbol{x}}(\Delta\boldsymbol{x}).$$