必要な作業桁数

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$f:U\to\mathbb{R}^m$、$\boldsymbol{x}\in U$, $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$, $f(\boldsymbol{x})\ne\boldsymbol{0}$ とする。単位丸め $u$ の浮動小数点演算で $f(\boldsymbol{x})$ を計算する算法が、ある定数 $c\gt0$ について次を満たすとする（後退誤差が $cu$ 以下。定義 4.2［条件数と安定性］）。

計算値 $\hat{\boldsymbol{y}}_u$ は、$\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x}_u\in U$, $\|\Delta\boldsymbol{x}_u\|\le cu\|\boldsymbol{x}\|$ を満たすある $\Delta\boldsymbol{x}_u$ について $\hat{\boldsymbol{y}}_u=f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x}_u)$ と書ける。

相対前進誤差を $E_u=\|\hat{\boldsymbol{y}}_u-f(\boldsymbol{x})\|/\|f(\boldsymbol{x})\|$ とおく。

1. $f$ が $\boldsymbol{x}$ で全微分可能ならば、相対条件数 $\kappa(\boldsymbol{x})$（定義 2.1［条件数と安定性］）について $$E_u\le c\,\kappa(\boldsymbol{x})\,u+r(u),\qquad\lim_{u\to+0}\frac{r(u)}{u}=0$$ を満たす $r(u)\ge0$ がある。
2. $u_0\gt0$ とし、閉球 $\bar B=\{\boldsymbol{z}:\|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{x}\|\le cu_0\|\boldsymbol{x}\|\}$ が $U$ に含まれ、$f$ が $\bar B$ の各点で全微分可能で、$K=\sup_{\boldsymbol{z}\in\bar B}\|J_f(\boldsymbol{z})\|\,\|\boldsymbol{x}\|/\|f(\boldsymbol{x})\|\lt\infty$ とする。このとき $u\le u_0$ ならば $E_u\le c\,K\,u$。
3. 2 の状況で、作業桁数 $D=-\log_{10}u$ が $$D\ge d+\log_{10}K+\log_{10}c$$ を満たせば、$E_u\le10^{-d}$ である。すなわち、目標の $d$ 桁に、条件数の桁 $\log_{10}K$ と算法の定数の桁 $\log_{10}c$ を足した作業桁数で足りる。