多項式の値の条件数と Horner 法の前進誤差

命題 5.2（「条件数と安定性」§5）・ ✓公理まで証明済み

$p(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$ の値を係数 $\boldsymbol{a}=(a_0,\ldots,a_n)$ の関数とみたとき、 $p(x)\ne0$ ならその成分ごとの条件数は

\kappa_p(x)=\frac{\sum_{i=0}^n|a_i||x|^i}{|p(x)|}

であり、 $x,a_i\in\mathbb{F}$ , $2nu\lt1$ で Horner 法の途中でオーバーフローもアンダーフローも起きなければ、計算値 $\hat p$ は

\frac{|\hat p-p(x)|}{|p(x)|}\le\gamma_{2n}\,\kappa_p(x)

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分可能な問題の条件数✓命題 2.2・条件数と安定性
Horner 法の後退誤差✓定理 6.1・浮動小数点数と丸め誤差
- 四則の標準モデル✓系 3.1・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの方向と正しい丸め定義 2.2・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
    浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算
- 誤差因子の積✓補題 3.2・浮動小数と区間演算
- γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差
前進誤差と後退誤差の関係✓定理 4.3・条件数と安定性
- 全微分可能（n 変数・ベクトル値）定義 9.1・多変数関数の微分と偏微分
- 微分可能な問題の条件数✓命題 2.2・条件数と安定性
- 平均値不等式（ベクトル値）✓定理 9.7・多変数関数の微分と偏微分
  - 連鎖律（ヤコビ行列の積）✓定理 9.4・多変数関数の微分と偏微分（上で展開済み）
- 連鎖律（ヤコビ行列の積）✓定理 9.4・多変数関数の微分と偏微分
  - 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 全微分可能性の基本性質（n 変数・ベクトル値）✓命題 9.2・多変数関数の微分と偏微分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

多項式の値の条件数と Horner 法の前進誤差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）