数学 › 数値解析の基礎 › 浮動小数点数と丸め誤差

Horner 法の後退誤差

定理 6.1（「浮動小数点数と丸め誤差」§6）・ ✓公理まで証明済み

$x,a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{F}$ 、 $2nu\lt1$ とし、Horner 法の途中でオーバーフローもアンダーフローも起きないとする。このとき計算値 $\hat q_0$ は

\hat q_0=\sum_{i=0}^na_i(1+\theta_i)\,x^i,\qquad|\theta_i|\le\gamma_{2n}

を満たす。すなわち $\hat q_0$ は、各係数を相対 $\gamma_{2n}$ 以内で動かした多項式 $\tilde p(x)=\sum_i\tilde a_ix^i$ （ $\tilde a_i=a_i(1+\theta_i)$ ）の、 $x$ における正確な値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

四則の標準モデル✓系 3.1・浮動小数点数と丸め誤差
- 丸めの方向と正しい丸め定義 2.2・浮動小数点数と丸め誤差
- 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
  - 浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算
誤差因子の積✓補題 3.2・浮動小数と区間演算
γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差

これを使っている定理証明で参照している 2 件

四則・内積・Horner 法の後退安定性✓命題 5.1・条件数と安定性
多項式の値の条件数と Horner 法の前進誤差✓命題 5.2・条件数と安定性

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