四則・内積・Horner 法の後退安定性

オーバーフローとアンダーフローは起きないとする。

1. $x,y\in\mathbb{F}$ について、$\mathrm{fl}(x\pm y)=x(1+\delta)\pm y(1+\delta)$, $\mathrm{fl}(xy)=x(1+\delta)\,y$, $\mathrm{fl}(x/y)=x(1+\delta)/y$（$|\delta|\le u$）。したがって四則は成分ごとの後退誤差 $u$ 以下で後退安定である。
2. $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{F}^n$、$nu\lt1$ とし、内積を前から順に計算した値を $\hat s$ とする。$\hat s=(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}$, $|\Delta\boldsymbol{x}|\le\gamma_n|\boldsymbol{x}|$（成分ごと）となる $\Delta\boldsymbol{x}$ がある。すなわち内積は $\boldsymbol{x}$ について成分ごとの後退誤差 $\gamma_n$ 以下である。
3. Horner 法で計算した $\sum_{i=0}^na_ix^i$ の値は、係数 $(a_0,\ldots,a_n)$ について成分ごとの後退誤差 $\gamma_{2n}$ 以下である（$2nu\lt1$）。