数学 › 位相空間論 › 局所コンパクト空間

Tietze の拡張定理

定理 5.2（「局所コンパクト空間」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を正規空間、 $A \subseteq X$ を閉集合とする。

連続関数 $f : A \to [a, b]$ に対し、連続関数 $F : X \to [a, b]$ で $F|_A = f$ となるものが存在する。
連続関数 $f : A \to \mathbb{R}$ に対し、連続関数 $F : X \to \mathbb{R}$ で $F|_A = f$ となるものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tietze の定理の 1 段階分✓補題 5.1・局所コンパクト空間
- ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性
    正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
  - 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

これを使っている定理証明で参照している 3 件

AR と ANR の例✓命題 6.4・特異ホモロジー
T4 空間では擬コンパクトと可算コンパクトは同値✓命題 3.4・可算性・点列・可算コンパクト性
コンパクト集合上の連続関数の拡張✓系 5.4・局所コンパクト空間