ロジスティック方程式の解

定理 5.5（「積分の応用」§5）・ ✓公理まで証明済み

$0<y_0<K$ とし、 $C=\dfrac{K-y_0}{y_0}>0$ とおく。初期値問題 $y'=ry(1-y/K)$ 、 $y(0)=y_0$ の解は、 $\mathbb R$ 全体で定義された

y(t)=\frac K{1+Ce^{-rt}}

であり、これが（定義域が $0$ を含む区間であるような）唯一の解である。この解は次を満たす。

$0<y(t)<K$ で、 $y$ は狭義単調増加。 $t\to\infty$ で $y\to K$ 、 $t\to-\infty$ で $y\to0$ 。
$y$ は $y=K/2$ となる時刻 $t^*=\frac1r\log C$ でちょうど 1 回だけ凹凸が入れ替わる（変曲点）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
- ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
  - 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
  - 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
    一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
    無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ロジスティック方程式の解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）