数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 積分の応用

曲線の長さの公式

定理 4.1（「積分の応用」§4） ・ ✓公理まで証明済み

  1. f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R が C1C^1 級ならば、グラフ y=f(x)y=f(x) の長さは ∫ab1+f′(x)2 dx\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx。
  2. x(t),y(t)x(t),y(t) が [α,β][\alpha,\beta] で C1C^1 級ならば、曲線 (x(t),y(t))(x(t),y(t)) の長さは ∫αβx′(t)2+y′(t)2 dt\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt（定義）。
  3. ρ:[α,β]→R\rho:[\alpha,\beta]\to\mathbb R が C1C^1 級ならば、極座標の曲線 r=ρ(θ)r=\rho(\theta)、すなわち (ρ(θ)cos⁡θ,ρ(θ)sin⁡θ)(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta) の長さは ∫αβρ(θ)2+ρ′(θ)2 dθ\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\,d\theta。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 58 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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