# 積分の応用：面積・体積・曲線の長さ・微分方程式を、定義から公式まで > 面積は重積分、体積はルベーグ測度で定義し、2 曲線の間・媒介変数・極座標の面積、断面積と回転体の体積、曲線の長さ、Gabriel のラッパ、変数分離形・1 階線形・ロジスティック方程式・連立線形方程式を証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-analysis/integration-applications ## 0. この記事の要点 高校で覚えた「面積は積分で求める」「回転させた立体の体積は積分で求める」という公式は、なぜ正しいのでしょうか。そもそも、曲がった図形の「面積」や立体の「体積」は、何をもって決めるのでしょうか。この記事では、まず面積や体積の意味をはっきり決め、そこから高校の公式を順に導きます。最後に、微分方程式（変化の仕方から元の関数を求める問題）の基本的な解き方も確かめます。読み終えると、各公式がどの仮定の下で成り立つのかが分かります。 - 高校の積分の応用は、「面積は $\int(g-f)dx$」「体積は $\int S(x)dx$」「回転体の体積は $\pi\int y^2dx$」といった**公式**として覚えます。ところが、そもそも「面積」「体積」とは何でしょうか。この記事では、**面積を重積分（平面上の図形での積分。大学の記事）、体積を[ルベーグ測度](/mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#def-lebesgue-measure)（長さ・面積・体積を一般の集合に広げた「大きさ」）で定義し**、公式はそれらの定理から導きます。 - 面積：2 曲線の間の面積、媒介変数表示された曲線の下の面積、極座標の面積 $\frac12\int\rho^2d\theta$ を証明します。 - 体積：断面積から体積を求める公式（Cavalieri の原理の積分版）と、回転体の体積 $\pi\int f(x)^2dx$ を証明します。座標軸でない直線のまわりの回転体（トーラス）や、体積が有限なのに表面積が無限になる **Gabriel のラッパ**も扱います。 - 曲線の長さは前の記事で定義した積分（）から、グラフ・媒介変数・極座標の 3 つの形の公式を導きます。 - 最後に、微分方程式の入口として、変数分離形・1 階線形方程式・ロジスティック方程式・連立線形方程式の解法を、解の一意性（大学の常微分方程式の記事）とあわせて証明します。 ## 1. 動機：「面積」「体積」「長さ」を定義する 高校では、次の公式を「当たり前」のこととして使います。 - 曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間の面積は $\displaystyle\int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx$。 - 回転体の体積は $\displaystyle\pi\int_a^bf(x)^2dx$。 - 曲線の長さは $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。 区間 $[a,b]$ を細かく刻んで、短冊や円板や折れ線で近似して足し合わせる、という「積分の考え方」で説明されます。それはその通りなのですが、「面積」という量自体の定義がはっきりしないまま、公式を使っているのです。たとえば、「曲線で囲まれた図形の面積」が、図形の置き方（平行移動・回転）によらないことは、公式からは見えません。 この記事では、定義を次のように決めます。 | 量 | 定義 | 公式の根拠 | |---|---|---| | 平面図形の**面積** | 重積分 $\iint1\,dxdy$（） | 縦線集合の累次積分（）、変数変換公式（） | | 空間図形の**体積** | $\mathbb R^3$ のルベーグ測度 $m_3$（） | Tonelli の定理（） | | 曲線の**長さ** | $\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$（） | 前の記事の弧の長さ $=\theta$ | ## 2. 面積 ### 2.1. 準備：半円の面積 円の面積に関係する計算が何度も出てくるので、先に 1 つの補題にまとめておきます。 $r>0$ ならば $\displaystyle\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{\pi r^2}2$ である。 $\varphi(\theta)=r\sin\theta$（$-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$）とおくと、$\varphi$ は $C^1$ 級で $\varphi(\pm\frac\pi2)=\pm r$ です（）。$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ は $[-r,r]$ で連続で、$[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ で $\cos\theta\ge0$ なので $f(\varphi(\theta))=r\cos\theta$ です。置換積分（）より $$ \int_{-r}^rf(x)\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos\theta\cdot r\cos\theta\,d\theta=r^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}2\,d\theta=r^2\left[\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}4\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi r^2}2 $$ です（$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$ は倍角の公式。。$\sin(\pm\pi)=0$）。 ### 2.2. 2 曲線の間の面積 $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ を連続で $f\le g$ とする。$D=\{(x,y):a\le x\le b,\ f(x)\le y\le g(x)\}$ は面積確定で、その面積は $$ |D|=\int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx $$ である。 縦線集合上の累次積分の定理（）を、$\varphi_1=f$、$\varphi_2=g$、被積分関数 $1$ に使います。$|D|=\iint_D1\,dxdy=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)}1\,dy\right)dx=\int_a^b(g-f)\,dx$ です。 $y=x$ と $y=x^2$ の交点は $x=0,1$ で、$[0,1]$ で $x^2\le x$ です。面積は $\int_0^1(x-x^2)dx=\int_0^1x(1-x)dx=\dfrac16$（1/6 公式。）です。 円板（半径 $r$）の面積：$D=\{x^2+y^2\le r^2\}$ は $f(x)=-\sqrt{r^2-x^2}$、$g(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ に挟まれた縦線集合で、 と から $|D|=2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2$ です。 ### 2.3. 媒介変数で表された曲線の下の面積 $x,y:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ とし、$x$ は $C^1$ 級で狭義単調増加、$y$ は連続で $y\ge0$ とする。曲線 $(x(t),y(t))$ は、$a=x(\alpha)$、$b=x(\beta)$ として $[a,b]$ 上の連続関数 $Y=y\circ x^{-1}$ のグラフであり、その下の図形 $D=\{(x,v):a\le x\le b,\ 0\le v\le Y(x)\}$ の面積は $$ |D|=\int_\alpha^\beta y(t)\,x'(t)\,dt $$ である。 $x$ は連続な狭義単調増加関数なので、$[\alpha,\beta]$ から $[a,b]$ への全単射で、逆関数 $x^{-1}$ も連続です（開区間 $(\alpha,\beta)$ では 。端点では、単調増加な $x^{-1}$ の値域が区間 $[\alpha,\beta]$ なので、飛びがなく連続です）。したがって $Y=y\circ x^{-1}$ は連続で、曲線は $Y$ のグラフです。 を $f=0$、$g=Y$ に使うと $|D|=\int_a^bY(x)\,dx$ で、置換積分（）を $x=x(t)$ として使うと $\int_a^bY(x)dx=\int_\alpha^\beta Y(x(t))\,x'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta y(t)x'(t)\,dt$ です。 サイクロイド $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0\le t\le2\pi$）は、車輪の縁の 1 点が描く曲線です。$x'(t)=1-\cos t$ は、$0 (5)）なので、$x$ は $[0,2\pi]$ で狭義単調増加です。 から面積は $$ \int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt=\int_0^{2\pi}\bigl(1-2\cos t+\cos^2t\bigr)dt=2\pi-0+\pi=3\pi $$ です（$\int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0$、$\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\left[\frac t2+\frac{\sin2t}4\right]_0^{2\pi}=\pi$）。サイクロイドを生む円の面積 $\pi$ の 3 倍です。 ### 2.4. 極座標で表された図形の面積 原点からの距離 $\rho(\theta)$ が角度 $\theta$ ごとに決まる図形の面積を求めます。直感的には、角度を細かく刻んで、細い扇形を足し合わせる計算です。証明では、極座標への変数変換のヤコビ行列式（変換で面積が何倍に伸び縮みするかを表す量）が $r$ になることを使います。途中の「変換が一対一であること」の確認が長いのは、変数変換公式を使うための条件を確かめているためです。 $\alpha<\beta\le\alpha+2\pi$ とし、$\rho:[\alpha,\beta]\to[0,\infty)$ を連続とする。 $$ D=\{(r\cos\theta,\ r\sin\theta):\ \alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le\rho(\theta)\} $$ は面積確定で、その面積は $\displaystyle|D|=\frac12\int_\alpha^\beta\rho(\theta)^2d\theta$ である。 $\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は $\mathbb R^2$ 上の $C^1$ 級写像で、ヤコビ行列式は $\det J_\Phi=\cos\theta\cdot r\cos\theta-(-r\sin\theta)\sin\theta=r$ です（ (3)、）。$E=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le\rho(\theta)\}$ は、$\theta$ を独立変数とみたとき連続関数 $0\le\rho$ で挟まれた集合（横線集合）で、有界閉かつ面積確定です（）。境界 $Z=\partial E$ は、連続関数のグラフ（）と線分からなるので面積 $0$ です。 $\mathrm{int}E\setminus Z=\mathrm{int}E$ の上で $\Phi$ が単射であることを示します。$(r,\theta),(r',\theta')\in\mathrm{int}E$（$r,r'>0$、$\alpha<\theta,\theta'<\beta$）で $\Phi(r,\theta)=\Phi(r',\theta')$ とすると、成分の 2 乗和から $r=r'$ で、したがって $\cos\theta=\cos\theta'$、$\sin\theta=\sin\theta'$ です。このとき $\cos(\theta'-\theta)=\cos\theta'\cos\theta+\sin\theta'\sin\theta=1$ なので、$\theta'-\theta\in2\pi\mathbb Z$（ (5)）で、$|\theta'-\theta|<\beta-\alpha\le2\pi$ から $\theta=\theta'$ です。そこで変数変換公式（）が使えて、$D=\Phi(E)$ は面積確定で $$ |D|=\iint_Er\,dr\,d\theta=\int_\alpha^\beta\left(\int_0^{\rho(\theta)}r\,dr\right)d\theta=\int_\alpha^\beta\frac{\rho(\theta)^2}2\,d\theta $$ です（累次積分は の横線集合の形による）。 $\rho(\theta)=1+\cos\theta$（$0\le\theta\le2\pi$。$\rho\ge0$）が囲む図形の面積は、 から $\dfrac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta=\dfrac12(2\pi+0+\pi)=\dfrac{3\pi}2$ です。$\rho(\theta)=a$（定数）なら $\frac12\int_0^{2\pi}a^2d\theta=\pi a^2$ で、円板の面積の公式に一致します。 ## 3. 体積 ### 3.1. 断面積による体積 空間の図形 $S\subseteq\mathbb R^3$ の体積を、ルベーグ測度 $m_3$ で定めます。$\mathbb R^3=\mathbb R\times\mathbb R^2$ とみて、$x$ を固定したときの断面 $S_x=\{(y,z):(x,y,z)\in S\}$ の面積（$\mathbb R^2$ のルベーグ測度 $m_2$）を $x$ で積分すると、体積になります。立体をパンのように薄く切って、各断面の面積を足し合わせるイメージです。証明は、3 次元のルベーグ測度が 1 次元と 2 次元の測度の積であることと、Tonelli の定理（積の測度を、片方ずつ順に積分して求める定理）を指示関数に使うだけです。 $S\subseteq\mathbb R^3$ をボレル集合とする。$x\mapsto m_2(S_x)$ は可測で $$ m_3(S)=\int_{\mathbb R}m_2(S_x)\,dm_1(x) $$ が成り立つ。$x\mapsto m_2(S_x)$ が $[a,b]$ の外で $0$ で、$[a,b]$ 上で連続（あるいはリーマン可積分）ならば、右辺は $\displaystyle\int_a^bm_2(S_x)dx$（リーマン積分）に等しい。 ルベーグ測度の定義（）から $m_3=m_1\times m_2$ です。$S$ の指示関数に Tonelli の定理（）を使うと、$x\mapsto\int1_S(x,\cdot)\,dm_2=m_2(S_x)$ は可測で $m_3(S)=\int m_2(S_x)\,dm_1(x)$ です。$[a,b]$ の外では被積分関数が $0$ なので、$\int_{\mathbb R}=\int_{[a,b]}$ です。リーマン可積分な関数のルベーグ積分とリーマン積分は一致します（）。 これは、断面積がすべての $x$ で等しい 2 つの立体は体積が等しい、という **Cavalieri の原理**の積分版です。 ### 3.2. 回転体 円板の面積から出発して、回転体の体積を求めます。 $r\ge0$ ならば、$\mathbb R^2$ の閉円板 $\{(y,z):y^2+z^2\le r^2\}$ のルベーグ測度は $\pi r^2$ である。 $r=0$ は 1 点で測度 $0$ です。$r>0$ とします。$m_2=m_1\times m_1$ なので、Tonelli の定理（）から、閉円板 $D_r$ について $m_2(D_r)=\int m_1\bigl(\{z:(y,z)\in D_r\}\bigr)dm_1(y)$ です。$|y|\le r$ のとき断面は区間 $[-\sqrt{r^2-y^2},\sqrt{r^2-y^2}]$ で長さ $2\sqrt{r^2-y^2}$、$|y|>r$ のとき空集合なので、$m_2(D_r)=\int_{-r}^r2\sqrt{r^2-y^2}\,dm_1(y)$ です。被積分関数は連続なので、これはリーマン積分に等しく（）、 から $2\cdot\frac{\pi r^2}2=\pi r^2$ です。 $f:[a,b]\to[0,\infty)$ を連続とし、$x$ 軸のまわりに曲線 $y=f(x)$ を回転してできる立体 $$ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ a\le x\le b,\ y^2+z^2\le f(x)^2\} $$ を考える。このとき $S$ の体積は $\displaystyle m_3(S)=\pi\int_a^bf(x)^2\,dx$ である。 $S$ は閉集合（連続関数 $(x,y,z)\mapsto y^2+z^2-f(x)^2$ の $\le0$ の部分と閉区間の積）で有界、したがってボレル集合です。断面 $S_x$ は $a\le x\le b$ で半径 $f(x)$ の閉円板、それ以外で空集合なので、 より $m_2(S_x)=\pi f(x)^2$（$a\le x\le b$）です。これは連続なので、 から $m_3(S)=\int_a^b\pi f(x)^2dx$ です。 **球。** $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）の回転体は半径 $r$ の球で、体積は $\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{-r}^r=\pi\left(2r^3-\frac{2r^3}3\right)=\dfrac43\pi r^3$ です。 **円錐。** $f(x)=\dfrac rhx$（$0\le x\le h$）の回転体は、底面の半径 $r$、高さ $h$ の円錐で、体積は $\pi\int_0^h\dfrac{r^2}{h^2}x^2dx=\dfrac{\pi r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}3=\dfrac13\pi r^2h$ です。 ### 3.3. 座標軸でない直線のまわりの回転体 回転軸が $x$ 軸でなく直線 $y=c$ で、しかも図形と軸の間にすき間があると、立体の断面は円板ではなくドーナツ状（輪）になります。輪の面積は「外側の円板の面積 $-$ 内側の円板の面積」で求まります。証明の後半は、内側のくりぬく開円板の面積も $\pi\rho_1^2$ であることを、小さい閉円板で内側から近づいて確かめている部分です。 $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ を連続とし、$c\le g\le f$ とする。直線 $y=c$ のまわりに、$g(x)\le y\le f(x)$（$a\le x\le b$）の部分を回転してできる立体 $$ S=\{(x,y,z):\ a\le x\le b,\ (g(x)-c)^2\le(y-c)^2+z^2\le(f(x)-c)^2\} $$ の体積は $$ m_3(S)=\pi\int_a^b\Bigl[\bigl(f(x)-c\bigr)^2-\bigl(g(x)-c\bigr)^2\Bigr]dx $$ である。 $S$ は閉集合で有界、したがってボレル集合です。断面 $S_x$（$a\le x\le b$）は、点 $(c,0)$ を中心とする、半径 $\rho_2=f(x)-c$ の閉円板から半径 $\rho_1=g(x)-c$ の開円板を除いたものです。ルベーグ測度は並進で不変で（）、閉円板の測度は から $\pi\rho_2^2$ です。$\rho_1=0$ なら開円板は空集合で測度 $0=\pi\rho_1^2$ です。$\rho_1>0$ なら、開円板は閉円板の増加列 $\{|\cdot|\le\rho_1-\frac1n\}$（$n>1/\rho_1$）の和集合なので、測度の下からの連続性（）から測度は $\pi\rho_1^2$ です。したがって $m_2(S_x)=\pi\rho_2^2-\pi\rho_1^2$ で、 から $m_3(S)=\pi\int_a^b(\rho_2^2-\rho_1^2)dx$ です。 円板 $x^2+(y-R)^2\le r^2$（$R\ge r>0$）を $x$ 軸のまわりに回転すると、トーラス（ドーナツ型）ができます。$f(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}$、$g(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$、$c=0$（$g\ge R-r\ge0$）として を使うと、$f^2-g^2=4R\sqrt{r^2-x^2}$ なので、体積は $\pi\int_{-r}^r4R\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4\pi R\cdot\dfrac{\pi r^2}2=2\pi^2Rr^2$（）です。「断面の円板の面積 $\pi r^2$ に、中心の描く円周の長さ $2\pi R$ を掛けたもの」と読めます。 ## 4. 曲線の長さと回転体の表面積 ### 4.1. 曲線の長さの公式 曲線の長さは、前の記事で $\int\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$ と定義しました（）。この定義から、高校で使う 3 つの形の公式が出ます。 1. $f:[a,b]\to\mathbb R$ が $C^1$ 級ならば、グラフ $y=f(x)$ の長さは $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。 2. $x(t),y(t)$ が $[\alpha,\beta]$ で $C^1$ 級ならば、曲線 $(x(t),y(t))$ の長さは $\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$（定義）。 3. $\rho:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ が $C^1$ 級ならば、極座標の曲線 $r=\rho(\theta)$、すなわち $(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)$ の長さは $\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\,d\theta$。 (2) は定義です。(1) は曲線 $\gamma(x)=(x,f(x))$（$a\le x\le b$）に定義を使うと、$\gamma'=(1,f')$ で $\sqrt{1+f'^2}$ です。(3) は $\gamma(\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ で、積の法則と (3) から $\gamma'=(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta,\ \rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)$、$|\gamma'|^2=\rho'^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\rho'\rho(-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta)=\rho'^2+\rho^2$（）です。 **サイクロイドの 1 つのアーチ。** $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0\le t\le2\pi$）。$x'^2+y'^2=(1-\cos t)^2+\sin^2t=2-2\cos t=4\sin^2\frac t2$（半角の公式）で、$0\le t\le2\pi$ で $\sin\frac t2\ge0$ なので $\sqrt{x'^2+y'^2}=2\sin\frac t2$、長さは $\int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt=\left[-4\cos\frac t2\right]_0^{2\pi}=8$ です。 **懸垂線。** $y=\cosh x$（）の $0\le x\le a$ の長さは、$1+\sinh^2x=\cosh^2x$（ (1)(3)）から $\int_0^a\cosh x\,dx=\sinh a$ です。 **カージオイド。** $\rho=1+\cos\theta$（$0\le\theta\le2\pi$）。$\rho^2+\rho'^2=(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2+2\cos\theta=4\cos^2\frac\theta2$ で、長さは $\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac\theta2\right|d\theta$。$[0,\pi]$ で $\cos\frac\theta2\ge0$、$[\pi,2\pi]$ で $\le0$ なので $\left[4\sin\frac\theta2\right]_0^\pi-\left[4\sin\frac\theta2\right]_\pi^{2\pi}=4+4=8$ です。 ### 4.2. 回転体の表面積 曲面の面積は、重積分を使って厳密に定義できますが、それには曲面の理論が必要です（ベクトル解析の記事）。ここでは、細い帯（円錐台）を足し合わせる考え方に従った式を**定義**とします。 $f:[a,b]\to[0,\infty)$ を $C^1$ 級とする。$x$ 軸のまわりに曲線 $y=f(x)$ を回転してできる曲面の**面積**を $$ A=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$ と定める。$[a,\infty)$ 上の関数に対しては、$\displaystyle\lim_{R\to\infty}2\pi\int_a^Rf\sqrt{1+f'^2}\,dx$（広義積分。）で定める。 幅 $\Delta x$ の細い帯は、半径 $f(x)$ の円周（長さ $2\pi f(x)$）に、斜めの長さ $\sqrt{1+f'^2}\,\Delta x$ を掛けたものと考える、というのがこの定義の動機です。 半径 $r$ の球面を、$x=u$ と $x=v$（$-r ### 4.3. Gabriel のラッパ $x\ge1$ で $f(x)=\dfrac1x$ とし、$S=\{(x,y,z):x\ge1,\ y^2+z^2\le f(x)^2\}$ とする。 1. $S$ の体積は $m_3(S)=\pi$（有限）である。 2. $S$ の表面積 $2\pi\displaystyle\int_1^Rf\sqrt{1+f'^2}\,dx$ は $R\to\infty$ で $\infty$ に発散する。 **(1)** $S_n=S\cap\{x\le n\}$（$n=1,2,\dots$）は増加する閉集合の列で、$S=\bigcup S_n$ です。 から $m_3(S_n)=\pi\int_1^nx^{-2}dx=\pi\left[-\frac1x\right]_1^n=\pi\left(1-\frac1n\right)$ です。測度の下からの連続性（）から $m_3(S)=\lim m_3(S_n)=\pi$ です。 **(2)** $f'(x)=-x^{-2}$、$f\sqrt{1+f'^2}=\dfrac1x\sqrt{1+x^{-4}}\ge\dfrac1x$ なので、$2\pi\int_1^Rf\sqrt{1+f'^2}dx\ge2\pi\int_1^R\dfrac{dx}x=2\pi\log R$ です（）。$\log R\to\infty$（$\exp$ の値域が $(0,\infty)$。 (4)）ので、発散します。 「ラッパの中をペンキで満たすには体積 $\pi$ のペンキで足りるが、外側を塗るにはペンキが足りない」というパラドックスとして有名です。矛盾はなく、体積と表面積は別の量で、一方が有限でも他方が無限になりうる、ということです。 ## 5. 微分方程式の入口 ### 5.1. 変数分離形 微分方程式 $y'=f(x)g(y)$ は、「$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ と書いて両辺を積分する」という手順で解きます。この手順が正しい理由を確かめます。 $I,J$ を開区間、$f:I\to\mathbb R$、$g:J\to\mathbb R$ を連続とし、$g(y_0)\ne0$ とする。$\varphi$ が区間 $I_1\ni x_0$ 上の微分可能な解（$\varphi'=f(x)g(\varphi)$、$\varphi(x_0)=y_0$）で、$I_1$ 上で $g(\varphi(x))\ne0$ ならば $$ \int_{y_0}^{\varphi(x)}\frac{d\eta}{g(\eta)}=\int_{x_0}^xf(s)\,ds\qquad(x\in I_1) $$ が成り立つ。逆に、この等式を満たす連続関数 $\varphi$ は解である。解の存在と一意性は、大学の常微分方程式の記事で証明されている（）。 $G(y)=\int_{y_0}^y\frac{d\eta}{g(\eta)}$（$g\ne0$ の範囲で連続）とおくと、基本定理（）から $G'(y)=1/g(y)$ です。連鎖律から $\dfrac d{dx}G(\varphi(x))=\dfrac{\varphi'(x)}{g(\varphi(x))}=f(x)$ で、これは $F(x)=\int_{x_0}^xf(s)ds$ の導関数に等しいので、$G\circ\varphi-F$ は定数（ (1)）、$x=x_0$ で $0$ なので $G(\varphi(x))=F(x)$ です。逆に $G(\varphi(x))=F(x)$ ならば、$G$ は $g\ne0$ の範囲で狭義単調（導関数 $1/g$ が定符号）なので $\varphi=G^{-1}\circ F$ で、逆関数の微分（）から $\varphi'=1/G'(\varphi)\cdot F'=g(\varphi)f$ です。 **$y'=ky$**（$k$ は定数、$y(0)=y_0\ne0$）：$f=k$、$g(y)=y$（$y\ne0$）。$\int_{y_0}^y\frac{d\eta}\eta=\log\left|\frac y{y_0}\right|=kx$ なので $y=y_0e^{kx}$ です（）。 **$y'=y^2$**（$y(0)=1$）：$\int_1^y\frac{d\eta}{\eta^2}=1-\frac1y=x$ から $y=\dfrac1{1-x}$（$x<1$）です。解は $x\to1^-$ で $\infty$ に発散するので、すべての $x$ に延長できません（有限時間での爆発）。 ### 5.2. 1 階線形方程式 $I$ を開区間、$p,q:I\to\mathbb R$ を連続、$x_0\in I$ とし、$P(x)=\int_{x_0}^xp(s)ds$ とおく。$y'+p(x)y=q(x)$、$y(x_0)=y_0$ の（微分可能な）解は $I$ 全体でただ 1 つで、 $$ y(x)=e^{-P(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^xe^{P(s)}q(s)\,ds\right) $$ で与えられる。 $y$ が解ならば、$P'=p$（基本定理）と連鎖律・積の法則から $\bigl(e^{P}y\bigr)'=e^{P}(y'+py)=e^{P}q$ です。両辺を $x_0$ から $x$ まで積分し（基本定理第二部。$e^Pq$ は連続）、$e^{P(x_0)}y(x_0)=y_0$ を使うと $e^{P(x)}y(x)=y_0+\int_{x_0}^xe^{P(s)}q(s)ds$ で、これが解の形と一意性です。逆に、この式で定めた $y$ を微分すると $y'=-py+e^{-P}e^Pq=-py+q$ で、解です。この結果は大学の記事（）の特別な場合です。 $p=2$、$P=2x$、$\left(e^{2x}y\right)'=e^{2x}e^{-x}=e^x$ から $e^{2x}y=e^x+C$、$y=e^{-x}+Ce^{-2x}$ です。$y(0)=0$ なら $C=-1$ で $y=e^{-x}-e^{-2x}$ です。 ### 5.3. ロジスティック方程式 個体数 $y(t)$ の増え方を、「個体数が少ないうちは指数的に増え、環境の限界 $K$ に近づくと増加が鈍る」としてモデル化したのが、**ロジスティック方程式** $$ y'=ry\left(1-\frac yK\right)\qquad(r>0,\ K>0) $$ です。 ここでは、解の式を具体的に書き下し、それが解であることを確かめます。その解が唯一であること（ほかに別の解がないこと）は、大学の記事の一意性の定理を使って示します。 $00$ とおく。初期値問題 $y'=ry(1-y/K)$、$y(0)=y_0$ の解は、$\mathbb R$ 全体で定義された $$ y(t)=\frac K{1+Ce^{-rt}} $$ であり、これが（定義域が $0$ を含む区間であるような）唯一の解である。この解は次を満たす。 1. $0 **解であること。** $y=K(1+Ce^{-rt})^{-1}$ を微分すると $y'=\dfrac{rKCe^{-rt}}{(1+Ce^{-rt})^2}$ で、一方 $ry\left(1-\dfrac yK\right)=\dfrac{rK}{1+Ce^{-rt}}\cdot\dfrac{Ce^{-rt}}{1+Ce^{-rt}}$ で等しくなります。$y(0)=\dfrac K{1+C}=y_0$ です。 **一意性。** $F(y)=ry(1-y/K)$ は $y$ について $C^1$ 級なので局所 Lipschitz で（）、2 つの解が $t=0$ で一致すれば共通の定義域で一致します（）。 **(1)** $Ce^{-rt}>0$ なので $00$ から狭義単調増加です（ (3)）。$t\to\infty$ で $e^{-rt}\to0$（ (4)）、$t\to-\infty$ で $e^{-rt}\to\infty$ なので、それぞれ $y\to K$、$y\to0$ です。 **(2)** $y''=ry'\left(1-\frac yK\right)-\frac rKyy'=ry'\left(1-\frac{2y}K\right)$ で、$y'>0$ なので $y''$ の符号は $1-\frac{2y}K$ の符号です。$y$ は連続で狭義単調増加、値域は $(0,K)$ なので、$y=K/2$ となる時刻がちょうど 1 つあり（中間値の定理）、その前後で $y''$ の符号は $+$ から $-$ に変わります。その時刻は $\frac K{1+Ce^{-rt}}=\frac K2$、すなわち $Ce^{-rt}=1$、$t=\frac1r\log C$ です。 増加の速さ $y'$ は、$y=K/2$ のときに最大です（$y'=ry(1-y/K)$ は $y=K/2$ で最大値 $rK/4$）。この「S 字曲線」は、人口・感染者数・普及率など、さまざまな現象のモデルになります。 ### 5.4. 連立線形方程式 2 つの未知関数 $x(t),y(t)$ が互いに絡み合う連立方程式 $x'=ax+by$、$y'=cx+dy$ は、行列とベクトルで $\boldsymbol u'=A\boldsymbol u$（$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$\boldsymbol u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$）と書けます。 解き方の方針は、1 つの未知関数の方程式 $y'=ky$ の解 $e^{kt}$ を、行列に拡張することです。行列 $A$ に対する[行列指数関数](/mathematics/ode/linear-systems#def-matrix-exp) $e^{tA}$ は、指数関数の級数 $\sum_k\frac{t^k}{k!}A^k$ で定められ、$A$ の固有ベクトルの方向では単なる $e^{\lambda t}$ 倍として働きます。 $A$ を $2$ 次の実正方行列とし、$A\boldsymbol v_1=\lambda_1\boldsymbol v_1$、$A\boldsymbol v_2=\lambda_2\boldsymbol v_2$（$\lambda_1,\lambda_2$ は実数、$\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2\in\mathbb R^2$ は $1$ 次独立）とする。初期値問題 $\boldsymbol u'=A\boldsymbol u$、$\boldsymbol u(0)=\boldsymbol u_0$ の解は、$\boldsymbol u_0=c_1\boldsymbol v_1+c_2\boldsymbol v_2$ と書いて $$ \boldsymbol u(t)=c_1e^{\lambda_1t}\boldsymbol v_1+c_2e^{\lambda_2t}\boldsymbol v_2 $$ であり、これが唯一の解である。 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ が張る部分空間は次元 $2$ で、$\dim\mathbb R^2=2$ なので $\mathbb R^2$ 全体です（ (3)）。したがって 2 本は $\mathbb R^2$ の基底で、$c_1,c_2$ が存在します。大学の記事の定数係数線形系の解の公式（）から、解は $\boldsymbol u(t)=e^{tA}\boldsymbol u_0$ で唯一です（行列指数関数は ）。固有ベクトル $\boldsymbol v$ について $A^k\boldsymbol v=\lambda^k\boldsymbol v$ なので $e^{tA}\boldsymbol v=\sum_k\frac{t^k}{k!}A^k\boldsymbol v=\left(\sum_k\frac{(\lambda t)^k}{k!}\right)\boldsymbol v=e^{\lambda t}\boldsymbol v$ です。線形性から $e^{tA}\boldsymbol u_0=c_1e^{\lambda_1t}\boldsymbol v_1+c_2e^{\lambda_2t}\boldsymbol v_2$ です。 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ の固有値は $3$（固有ベクトル $\boldsymbol v_1=(1,1)$）と $-1$（$\boldsymbol v_2=(1,-1)$）です。初期値 $(x(0),y(0))=(2,0)=\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2$ なら、$x(t)=e^{3t}+e^{-t}$、$y(t)=e^{3t}-e^{-t}$ です。たとえば $x'=3e^{3t}-e^{-t}$ と $x+2y=3e^{3t}-e^{-t}$ が確かに一致します。 ### 5.5. 数値解法の考え方 $y'=f(t,y)$ の解を、刻み幅 $h$ で近似する最も簡単な方法は、$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$ と進める **Euler 法**です。 $y'=y$、$y(0)=1$ の厳密解は $e^t$ です（）。$t=1$ まで $n$ 歩（$h=1/n$）で Euler 法を使うと、$y_{k+1}=y_k(1+h)$ から $y_n=(1+1/n)^n$ になります。これは $e$ に収束する数列そのもの（）で、刻み幅を $0$ に近づけると近似が厳密解に収束することを、この例では $e=\exp1$ の収束（）として確かめられます。$n=10$ で $1.1^{10}=2.5937\cdots$、$n=100$ で $2.7048\cdots$ です。 ## 6. 大学ではどこへ続くか - **重積分と体積・面積。** この記事で定義に使った重積分（面積）は [重積分](/mathematics/calculus/multiple-integrals)、ルベーグ測度（体積）は [積測度と Fubini の定理](/mathematics/real-analysis/product-measures-fubini) で扱われます。3 次元の回転体の体積は、円柱座標での 3 重積分として一般化されます。 - **曲面の面積とベクトル解析。** 回転面の面積の式（）は、曲面の面積要素の特別な場合です（[ベクトル解析](/mathematics/calculus/vector-analysis)）。球帯の面積 $2\pi rh$ は、微分幾何学の Gauss–Bonnet の定理や球面幾何につながります。 - **常微分方程式。** 解の存在と一意性（Picard–Lindelöf の定理）、線形系・安定性・定数変化法は [常微分方程式の初等的解法](/mathematics/ode/elementary-methods)、[解の存在と一意性](/mathematics/ode/existence-uniqueness)、[線形系](/mathematics/ode/linear-systems) です。ロジスティック方程式は、1 次元の力学系（不動点 $0$ が不安定、$K$ が安定）の最も簡単な例です。 - **力学と物理。** 運動方程式 $m\ddot x=F$ は 2 階の微分方程式で、ばねの振動は $y''=-\omega^2y$（）の解、減衰を含む場合は定数係数の 2 階線形方程式になります。 - **次の学び。** 確率の記事 [確率の発展](/mathematics/hs-probability/probability-topics) では、Buffon の針の問題で、この記事の積分（面積）を使います。 ## 7. 演習 放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。 $x^2=x+2$ から $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$、交点は $x=-1,2$ で、$[-1,2]$ で $x+2\ge x^2$ である。 から面積は $\int_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\int_{-1}^2(-(x+1)(x-2))dx=\dfrac{(2-(-1))^3}6=\dfrac{27}6=\dfrac92$（1/6 公式。）である。 放物線 $y=x^2$（$0\le x\le1$）と直線 $y=1$、$y$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。 $y$ 軸のまわりの回転は、座標を入れ替えて $x$ 軸のまわりの回転と同じ形になる（ を、独立変数を $y$、半径を $\sqrt y$ として使う）。$0\le y\le1$ で半径 $x=\sqrt y$ の円板が断面なので、体積は $\pi\int_0^1(\sqrt y)^2dy=\pi\int_0^1y\,dy=\dfrac\pi2$ である。 ロジスティック方程式 $y'=y(1-y/10)$（$r=1$、$K=10$）の解で $y(0)=1$ のものについて、個体数が最も速く増える時刻 $t^*$ とそのときの増加速度を求めよ。 $C=\frac{10-1}1=9$ で、 から $y=\frac{10}{1+9e^{-t}}$。最も速く増えるのは $y=K/2=5$ となる時刻で、$t^*=\log9=2\log3\approx2.20$ である。そのときの速度は $y'=y(1-y/10)=5\cdot\frac12=2.5$ である。 ## 参考文献 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 積分の応用（面積・体積・曲線の長さ）の節。 - 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 面積・曲線の長さの章。 - V. I. Arnold, *Ordinary Differential Equations*, Springer, 1992 — 1 階方程式・線形系の章（変数分離形・線形系）。 - 柳田英二・栄伸一郎『常微分方程式論』朝倉書店 — 1 階方程式・線形系の章。