べき則のもとでの最適配分

$A, B, \alpha, \beta > 0$、$E \ge 0$、$C > 0$ とし、損失が

の形であるとします。制約 $ND = C$ のもとで $L$ を最小にする $(N, D)$ はただ 1 つ存在し、

です。このとき次が成り立ちます。

1. 最適点では $\alpha A (N^{\star})^{-\alpha} = \beta B (D^{\star})^{-\beta}$ です。
2. 最小値は $L^{\star}(C) = E + \Bigl(1 + \dfrac{\alpha}{\beta}\Bigr) A\, G^{-\alpha}\, C^{-\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}}$ で、$L^{\star} - E$ は $C$ について指数 $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}$ のべき則です。
3. $\alpha = \beta$ なら $N^{\star}$ と $D^{\star}$ はともに $\sqrt{C}$ に比例します。予算を $4$ 倍にすると、モデルもデータも $2$ 倍にするのが最適です。