凸関数

定義 4.1（「なぜ機械学習に数学が必要か」§4）

関数 $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ が凸であるとは、任意の $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^d$ と任意の $t\in[0,1]$ に対して

f\bigl((1-t)\boldsymbol{w}+t\boldsymbol{v}\bigr) \le (1-t)f(\boldsymbol{w}) + t f(\boldsymbol{v})

が成り立つことをいう。すなわちグラフ上の任意の 2 点を結ぶ線分が、グラフより下にこないことをいう。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。