凸関数では停留点と大域最小点が一致する

$f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ を全微分可能な関数とする。

1. $f$ が凸ならば、任意の $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^d$ に対して $f(\boldsymbol{v}) \ge f(\boldsymbol{w}) + \langle \nabla f(\boldsymbol{w}),\,\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\rangle$ が成り立つ。
2. $f$ が凸ならば、$\boldsymbol{w}^{\star}$ が $f$ の大域最小点であることと $\nabla f(\boldsymbol{w}^{\star})=\boldsymbol{0}$ であることは同値である。なお「大域最小点ならば $\nabla f(\boldsymbol{w}^{\star})=\boldsymbol{0}$」の向きは凸性を仮定しなくても成り立つ。