中心差分の打ち切り誤差と丸め誤差

命題 7.1（「数値積分 II」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f$ は $[x - h_0, x + h_0]$ を含む開区間で $C^3$ 級とし、 $M_j = \max_{[x-h_0, x+h_0]}|f^{(j)}|$ （ $j = 0, 1, 3$ ）とおく。 $0 \lt h \le h_0$ で $x \pm h$ と $2h$ が浮動小数で正確に表され、計算された関数値が $\hat f_{\pm} = f(x \pm h)(1 + \varepsilon_{\pm})$ 、 $|\varepsilon_{\pm}| \le \varepsilon$ を満たすとする。 $\hat D = \mathrm{fl}\bigl(\mathrm{fl}(\hat f_+ - \hat f_-)/(2h)\bigr)$ の計算でオーバーフローとアンダーフローが起きなければ

|\hat D - f'(x)| \le \frac{M_3}{6}h^2 + \frac{(1+u)^2\varepsilon M_0}{h} + (2u + u^2)M_1

である。さらに $M_3 \gt 0$ 、 $E = (1+u)^2\varepsilon M_0 \gt 0$ のとき、右辺の最初の 2 項の和は $h^* = (3E/M_3)^{1/3}$ で最小になり、最小値は $\frac{3^{2/3}}{2}E^{2/3}M_3^{1/3}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
四則の標準モデル✓系 3.1・浮動小数点数と丸め誤差
- 丸めの方向と正しい丸め定義 2.2・浮動小数点数と丸め誤差
- 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
  - 浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算
ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

中心差分の打ち切り誤差と丸め誤差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）