数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

2 次元の共形平坦な計量の曲率

補題 3.8（「ポアンカレ予想 I」§3） ・ ✓公理まで証明済み

R2\mathbb{R}^2 の開集合上の計量 g=e2w(dx2+dy2)g=e^{2w}(dx^2+dy^2)（ww は滑らかな関数）について、wi=∂iww_i=\partial_iw、Δ0=∂x2+∂y2\Delta_0=\partial_x^2+\partial_y^2 と書くと

Γijk=δikwj+δjkwi−δijwk,Rjk=−(Δ0w) δjk,R=−2e−2wΔ0w,\Gamma^k_{ij}=\delta^k_iw_j+\delta^k_jw_i-\delta_{ij}w_k,\qquad R_{jk}=-(\Delta_0w)\,\delta_{jk},\qquad R=-2e^{-2w}\Delta_0w,

関数 ff の Hesse 形式は ∇i∇jf=∂i∂jf−wj∂if−wi∂jf+δij⟨∇0w,∇0f⟩\nabla_i\nabla_jf=\partial_i\partial_jf-w_j\partial_if-w_i\partial_jf+\delta_{ij}\langle\nabla_0w,\nabla_0f\rangle（⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle、∇0\nabla_0 は Euclid のもの）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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