# ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理）
> ポアンカレ予想と幾何化予想を仮定を省かずに述べ、Ricci flow のもとでの曲率の変分公式、スカラー曲率の発展方程式、時間に依る計量での最大値原理、球面・葉巻ソリトンなどの厳密解を計算を省かずに証明する。Hamilton の定理と特異点という障害を命題の形で述べる。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/great-problems/poincare-conjecture-ricci-flow
## 0. この記事の要点
ゴムのように伸び縮みする 3 次元の閉じた空間があって、その中のどんな輪ゴムも手繰り寄せて 1 点に縮められるとします。このとき空間は 3 次元の球面に限るのか、というのがポアンカレ予想の問いです。証明の鍵は、空間の「曲がり具合」に従って空間の計量を少しずつ変形し、でこぼこを熱のようにならして丸くしていく方法（Ricci flow）です。この記事を読み終えると、この変形の基本の式がどう導かれ、どこで行き詰まりうるかが分かります。
- **ポアンカレ予想**は「単連結な閉 3 次元多様体は $S^3$ に微分同相である」という命題です。Perelman が 2002〜2003 年の 3 本のプレプリントで証明しました。この記事から 3 章をかけて、命題、道具、証明の論理の鎖を順に述べます。
- 単連結な閉 3 次元多様体は向き付け可能で、実係数のコホモロジーは $S^3$ と同じです（
### 3.3. ソリトンは形を変えずに流れる
$(M,g_0,f_0)$ を勾配ソリトン $\operatorname{Ric}(g_0)+\nabla^2f_0=\lambda g_0$ とし、ベクトル場 $\operatorname{grad}_{g_0}f_0$ が完備である（流れ $\theta_s$ がすべての $s\in\mathbb{R}$ で定まる。$M$ が閉なら自動的に成り立つ）とする。$\sigma(t)=1-2\lambda t$、
$$
s(t)=\int_0^t\frac{d\tau}{\sigma(\tau)},\qquad g(t)=\sigma(t)\,\theta_{s(t)}^*g_0
$$
と置くと、$g(t)$ は $\sigma(t)\gt0$ の範囲で Ricci flow の解である。すなわち勾配ソリトンは、微分同相による引き戻しと相似拡大だけで動く解を与える。
$\psi_t=\theta_{s(t)}$ と書きます。