数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

Ricci ソリトン・勾配ソリトン

定義 3.2（「ポアンカレ予想 I」§3）

Riemann 多様体 (M,g)(M,g)、ベクトル場 XX、定数 λ∈R\lambda\in\mathbb{R} が

Ric⁡+12LXg=λg\operatorname{Ric}+\tfrac12L_Xg=\lambda g

を満たすとき、(M,g,X)(M,g,X) を Ricci ソリトンという（LXL_X は Lie 微分）。λ>0\lambda\gt0、λ=0\lambda=0、λ<0\lambda\lt0 に応じて縮小、定常、拡大ソリトンという。X=grad⁡fX=\operatorname{grad}f となる関数 ff があるとき勾配ソリトンといい、このとき方程式は

Ric⁡+∇2f=λg\operatorname{Ric}+\nabla^2f=\lambda g

となる（∇2f\nabla^2f は Hesse 形式 ∇i∇jf\nabla_i\nabla_jf。下の 補題 3.3 による）。X=0X=0 の場合 Ric⁡=λg\operatorname{Ric}=\lambda g を Einstein 計量という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。