良い還元・乗法的還元・半安定

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$\ell$ を素数とする。$E$ の方程式から、有理数係数の変数変換 $x = u^2x' + r$、$y = u^3y' + su^2x' + t$（$u \ne 0$）で得られる一般 Weierstrass 方程式

で、係数 $a_i$ の分母が $\ell$ で割り切れないものを、$E$ の $\ell$ 整なモデルという。その $c_4$ と判別式 $\Delta$（定義式は既存の記事の付録）について、

• $v_\ell(\Delta) = 0$ となる $\ell$ 整なモデルがあるとき、$E$ は $\ell$ で良い還元をもつ、
• $v_\ell(\Delta) > 0$ かつ $v_\ell(c_4) = 0$ となる $\ell$ 整なモデルがあるとき、$E$ は $\ell$ で乗法的還元をもつ

という。このどちらかのモデルの $v_\ell(\Delta)$ を $v_\ell(\Delta_{\min})$ と書く。すべての素数で良い還元か乗法的還元をもつとき $E$ は半安定であるといい、乗法的還元をもつ素数の積を $E$ の導手 $N_E$ という。