分解群・惰性群・不分岐・Frobenius

$G_\ell = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/\mathbb{Q}_\ell)$ とおき、制限 $\sigma \mapsto \sigma|_{\overline{\mathbb{Q}}}$ によって $G_{\mathbb{Q}}$ への準同型 $G_\ell \to G_{\mathbb{Q}}$ を得る（$\ell$ での分解群）。$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}} = \bigcup_{n \ge 1}\mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n - 1})$（$\zeta_r$ は $1$ の原始 $r$ 乗根）を $\mathbb{Q}_\ell$ の最大不分岐拡大といい、$I_\ell = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}) \subset G_\ell$ を惰性群という。

$G_{\mathbb{Q}}$ の作用する集合や、準同型 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to H$ が $\ell$ で不分岐であるとは、$I_\ell$ が自明に作用する（$\bar\rho(I_\ell) = 1$）ことをいう。$G_\ell$ の元で、$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ の整数環の剰余体 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ に $x \mapsto x^\ell$ を引き起こすものを Frobenius 元といい $\mathrm{Frob}_\ell$ と書く。$\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐なら、$\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ は $\mathrm{Frob}_\ell$ の選び方によらない。