Frey 型の曲線の極小モデル

$A, B$ を整数とし、$A$、$B$、$C = A + B$ は $0$ でなく対ごとに互いに素、$A \equiv 3 \pmod 4$、$16 \mid B$ とする。$E : y^2 = x(x - A)(x + B)$ について次が成り立つ。

1. 変換 $x = 4X$、$y = 8Y + 4X$ により、$E$ は整数係数の方程式 $$Y^2 + XY = X^3 + \frac{B - A - 1}{4}X^2 - \frac{AB}{16}X$$ に移り、その不変量は $c_4 = A^2 + AB + B^2$、$\Delta = 2^{-8}(ABC)^2$ である。
2. $E$ は半安定で、すべての素数 $\ell$ について $v_\ell(\Delta_{\min}) = v_\ell\bigl(2^{-8}(ABC)^2\bigr)$。乗法的還元をもつ素数は、$ABC$ の奇素因数と、$32 \mid B$ のときの $2$ である。
3. とくに、素数 $p \ge 5$ と、対ごとに互いに素な $0$ でない整数 $\alpha, \beta, \gamma$ について $A = \alpha^p$、$B = \beta^p$、$C = \gamma^p$ であり $\beta$ が偶数なら、$N_E = \prod_{\ell \mid \alpha\beta\gamma}\ell$ で、 $$v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\,v_\ell(\alpha\beta\gamma) \ (\ell \ne 2), \qquad v_2(\Delta_{\min}) = 2p\,v_2(\beta) - 8 .$$