Hecke 固有形式・保型的な mod p 表現

$N \ge 1$ とする。$f = \sum_{n \ge 1} a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$（定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］、$q = e^{2\pi i\tau}$）と素数 $\ell \nmid N$ に対し

とおく。これは 定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の Hecke 作用素 $T_\ell$ の $q$ 展開での表示で、$T_\ell f \in S_2(\Gamma_0(N))$ である（証明は第 8 章）。$T_\ell f = c f$ となる $c \in \mathbb{C}$ があるとき $f$ を $T_\ell$ の固有形式という。$a_1 = 1$ なら、$q$ の係数を比べて $c = a_\ell$ である。

$k$ を標数 $p$ の有限体、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。$\bar\rho$ がレベル $N$ で保型的（重さ $2$）であるとは、次のものが存在することをいう。

• $f = \sum a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ で $a_1 = 1$ のもの、
• 代数体 $K \subset \mathbb{C}$、その整数環 $\mathcal{O}_K$ の $p$ を含む素イデアル $\lambda$、環準同型 $\iota : \mathcal{O}_K \to \bar k$ で核が $\lambda$ のもの

で、$Np$ を割らないすべての素数 $\ell$ について、$T_\ell f = a_\ell f$、$a_\ell \in \mathcal{O}_K$、$\bar\rho$ は $\ell$ で不分岐、$\mathrm{tr}\,\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell) = \iota(a_\ell)$ が成り立つ。